쿨롱의 법칙을 이용한 전기력의 계산 (3)

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안녕하세요, 설군입니다.

이번에는 세 개의 점전하가 있을 때 한 점전하가 받는 전기력을 계산해봅시다.
점전하 C에 작용하는 알짜 전기력의 크기와 방향을 찾는게 목적이라고 한다면,

다음과 같이 각각의 전하가 C에 작용하는 전기력을 모조리 구해줘야 합니다. A가 C를 밀어내는 전기력, B가 C를 당기는 전기력을 각각 구해야 하죠.

전하의 종류가 양전하인지 음전하인지를 알고 있으면, 두 전하 사이에 작용하는 전기력의 방향은 쉽게 알 수 있습니다. 그렇다면 전기력의 크기만 쿨롱의 법칙을 이용해서 계산해주면 됩니다.

$$ F = k \frac{q_1 q_2}{r^2} $$

따라서 A가 C에게 작용하는 전기력의 크기는

$$ F = 9 \times 10^9 \cdot \frac{5 \cdot 5}{3^2} = 2.5 \times 10^{10}\ \rm{[N]} $$

입니다. 이 때 방향은, 방향 벡터를 이용하면 $ - \hat{y} $라고 할 수 있겠죠

B가 C에게 작용하는 전기력의 크기는?

$$ F = 9 \times 10^9 \cdot \frac{5 \cdot |-2|}{2^2} = 2.25 \times 10^{10}\ \rm{[N]} $$

입니다. 이 때 방향은, 방향 벡터를 이용하면 $ + \hat{x} $ 라고 할 수 있습니다.

따라서 C가 받는 알짜 전기력을 표현하면, $x, y$성분을 각각 방향벡터로 표현해서,

$$ \vec{F} = 2.5 \times 10^{10}\ \hat{x} - 2.25 \times 10^{10}\ \hat{y} $$

로 표현할 수 있습니다.

C가 받는 알짜 전기력의 크기는 저 벡터 $\vec{F}$의 크기를 말하는 것이므로, $\sqrt{(2.5 \times 10^{10})^2 + (2.25 \times 10^{10})^2} = 3.36 \times 10^10\ \{[N]}$ 이 됩니다.

알짜힘 벡터의 방향을 찾기 위해서는 힘 벡터의 각 성분의 단위 벡터를 찾아야 합니다.
참고로 이 경우는, 이전 글 (2)와 다르게, 단순하게 삼각형을 그려서 찾을 수 없습니다.
힘 벡터의 단위 벡터는 다음과 같이 구합니다. 힘 벡터 자체를 힘 벡터의 크기로 나누어준 것이죠. 힘 벡터의 방향 벡터를 $\hat{F}$라고 표현한다면,

$$ \hat{F} = \frac{\vec{F}}{|F|} = \vec{F} = \frac{2.5 \times 10^{10}\ \hat{x}}{3.36 \times 10^10} - \frac{2.25 \times 10^{10}\ \hat{y}}{3.36 \times 10^{10}} = 0.74\ \hat{x} - 0.67\ \hat{y}$$

가 됩니다. 이 벡터는

위와 같이 $x, y$방향 성분을 가지는 벡터이고, 각도는 탄젠트의 역함수를 이용하면

$$ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{0.67}{0.74} \right) = 42^\circ $$

가 됩니다. 따라서 표현할 때에는 $x$축 방향으로부터 시계방향으로 $42^\circ$$ 방향 이라고 하면 됩니다.