물리 1, 물리 2를 할 때 알아두면 좋은 것 3. 벡터의 곱셈 - 내적과 외적

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안녕하세요, 설군입니다.

벡터를 잘 알아두면 고등학교 물리학 문제를 풀 때에도 아주 편합니다. 그리고 대학 일반물리학에서도 잘 사용됩니다.

1편에서는 벡터의 개념에 대해 다룰것이고
2편에서는 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배
3편에서는 벡터의 곱셈(스칼라곱과 벡터곱)
4편에서는 벡터의 분해
5편에서는 벡터를 물리 문제에 접목시켜 풀어보는 걸 해보겠습니다.

이 편(3편)에서는 벡터의 곱 중에 스칼라 곱을 알아보도록 하겠습니다.

* 벡터의 곱셈의 종류

벡터의 곱셈은 기본적으로 두 가지가 있습니다.
내적 - 스칼라 곱 - scalar product
외적 - 벡터 곱 - vector product
내적의 개념은 기하와 벡터(보통 이과 수학 3학년 때)에서 잘 다루므로 익숙할 것인데...
현재 2022년에 글을 수정하면서 생각해보니 벡터 계산에 익숙하지 않은 채 이 글을 보시는 분도 있을거라 더 자세한 설명을 추가하겠습니다.
물리학 문제를 풀 때에는 특히나 물체에 해준 일을 계산할 때 때 내적의 개념을 정확하게 알고 있으면 편합니다.
(그런데 대부분 고등학교 물리학 1 수준에서는 힘과 변위의 각도가 0, 90, 180도의 각도를 이루는 상황을 많이 다루기 때문에 심각하진 않습니다)

외적은 개념은 이전 교육과정의 물리 1에서 돌림힘에서 사용할 수는 있지만, 교과서에서 직접적으로 외적이라는 개념을 언급하지는 않습니다. 그리고 이전 교육과정의 물리 2에서 로런츠 힘 단원에서도 사용할 수 있습니다. (역시 교과서에서 직접적으로 언급하진 않음)

벡터의 곱셈에 앞서 스칼라의 연산에 대해 생각해봅시다. 스칼라 값들의 연산은 사칙연산이라고 부르는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 있습니다.
스칼라 값 + 스칼라 값 = 스칼라 값
스칼라 값 - 스칼라 값 = 스칼라 값
스칼라 값 × 스칼라 값 = 스칼라 값....
이런 것처럼 스칼라값끼리의 연산 결과는 스칼라이지만 벡터는 살짝 다릅니다.
벡터의 덧셈 결과는 벡터, 벡터의 뺄셈 결과는 벡터이지만, 벡터의 곱셈은 다릅니다! 벡터의 곱셈이 바로 위에서 제시한 내적과 외적입니다.

벡터의 곱셈에서 내적과 외적은 다른 결과를 보여주는데요,
벡터의 내적의 결과값 = 스칼라 값
벡터의 외적의 결과값 = 벡터 값
이런 결과를 보여줍니다.

내적의 정의는 다음과 같습니다.
$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||vec{B}|\cos(\theta) $$
두 벡터의 내적은, 두 벡터의 각각의 크기를 곱하고, 두 벡터가 이루는 각도의 코사인 값을 곱해주면 됩니다. 크기와 코사인값 모두 그냥 숫자이므로 결과값은 숫자입니다.

내적이라는 곱셈 표현은 $\vec{A} \cdot \vec{B}$와 같이 점 기호로 나타냅니다. 곱하기 표시는 외적이예요.

이와 같이 두 벡터가 좌표 평면 위에 놓여 있고, 이 두 벡터의 내적의 의미에 대해서 생각해봅시다.

두 벡터의 시점을 먼저 연결합니다. 그러면 쉽게 두 벡터가 이루는 각도 $\theta$를 표시할 수 있습니다.

그리고는 둘 중 한 벡터의 연장선을 보조선으로 긋습니다. 저는 $\vec{B}$의 연장선을 그렸습니다. 그리고 나서 $\vec{A}$의 종점에서 $\vec{B}$까지 수직으로 내려오는 보조선을 긋습니다.

그리고 나서는 $\vec{B}$의 시점으로부터 방금 그린 보조선 까지, $\vec{B}$와 정확하게 평행하고 길이만 다른 새로운 벡터 $\vec{A}’$을 그립니다. 이 벡터가 바로 $\vec{A}’ = \vec{A} \cos(\theta)$입니다.
내적 $\vec{A} \cdot \vec{B}$ 는 위의 과정으로 얻은 두 벡터 $\vec{A}’$, $\vec{B}$의 크기의 곱입니다.
따라서 두 벡터의 내적 $\vec{A} \cdot \vec{B}$는
$$ \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{A}’ \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}| \cos(\theta) = |\vec{A}’||\vec{B}| $$
입니다. 이 $\vec{A}’$이라는 벡터를 좀 더 멋지게 말하면, $\vec{A}$의 $\vec{B}$성분 이라고 합니다.

삼각형을 그려보면 쉽게 알 수 있는데, 코사인 값을 구해보면 $A’ = A \cos(\theta)$ 임을 알 수 있어요. 
$$\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}|\cos(\theta)$$
이제 내적의 의미와 공식을 쉽게 기억할 수 있을거예요.

* 물리학에서의 내적의 사용(간단한 예시)

위의 그림과 같이 어떤 물체를 $\vec{F}$의 힘으로 끌어주는 상황에 물체의 변위가 $\vec{s}$만큼 변했다고 할 때, 물체에 작용한 힘 $\vec{F}$가 한 일은 이렇게 구합니다.

$$ W = \vec{F} \cdot \vec{s} $$

벡터의 내적으로 일을 구합니다. 교과서에서는 힘과 변위 벡터가 이루는 각도가 0도나 90도의 경우가 주로 나와서 코사인 값을 계산할 일은 없지만요,,
이런 상황도 있습니다.

물체에 여러 힘이 작용할 때, 위의 그림과 같이 변위와 방향이 반대쪽에 있는 힘 $\vec{F}$가 한 일을 구하라면? 이것도 역시 내적으로 구해주면 됩니다. 이 경우에는 힘과 변위가 이루는 각도가 90도가 넘어가기 때문에, 코사인 값이 음수가 나와서, 자동적으로 힘 $\vec{F}$가 한 일은 음수가 나오게 됩니다.