벡터의 덧셈, 뺄셈 그리고 실수배

안녕하세요, 설군입니다.

 

벡터를 잘 알아두면 물리학 문제를 풀때 편합니다. 그리고 대학 일반물리학에서도 잘 사용되고요.

 

1편에서는 벡터의 개념에 대해 다룰것이고

2편에서는 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배

3편에서는 벡터의 곱셈(스칼라곱과 벡터곱)

4편에서는 벡터의 분해

5편에서는 벡터를 물리 문제에 접목시켜 풀어보는 걸 해보겠습니다.

 

이 편(2편)에서는 벡터를 더하는 법은 스칼라를 더하는 법과는 다르다. 벡터의 덧셈에는 삼각형법과 평행사변형법, 그리고 꼬리물기 법이 있다. 벡터의 뺄셈도 해보자. 벡터의 실수배도 해보자. 단위벡터를 통해 성분벡터를 표시하는법을 알아보자. 에 대해 다루겠습니다.

 

 

 

스칼라는 앞서 1편에서 그냥 숫자라고 말했습니다.

사람 1명, 사과 한 개, 책 네 권, 연필 3 자루.. 이렇게 생겼죠.

더하는 건 어떻게 합니까? 1+1=2 이렇게 하죠.

 

그런데 벡터는 어떻게 더하죠?

 

 

이런 문제가 주어졌다고 해봅시다.

a벡터와 c벡터를 더해라.

 

먼저 삼각형법입니다.

 

a벡터의 종점과 c벡터의 시점을 갖다 붙입니다.

벡터는 마음대로 움직일 수 있기 때문에 갖다 붙일 수 있는것입니다.

 

단, c의 방향과 길이가 틀어져서는 안됩니다.(물론 a도)

 

그리고 이것을 하나의 자동차 경주의 트랙이라고 생각하고

Start에서 Finish까지 자를 대고 연결합니다.

 

 

이렇게 말이죠.

이 모양이 삼각형 모양이라서 바로 '삼각형법'이라고 불리는 것입니다.

 

어쨌든.... 연결하면 빨간 벡터가 생기는데 이것을 d벡터라고 합시다.

 

끝났습니다.

 

즉, 우리는 a벡터 + c벡터를 구한것입니다!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 평행사변형법을 해봅시다.

 

 

평행사변형법은 여기서 시작합니다.

벡터의 시점과 시점을 서로 연결하는거죠.

 

그런데 이 방법에서는 보조선이 필요합니다.

바로 a벡터의 보조선과 c벡터의 보조선인데요.

 

평행사변형 법이니까 평행사변형을 만드는것입니다.

 

 

먼저 a와 똑같은 길이, 똑같은 방향의 선을 c의 종점에 그어주고

 

 

c도 마찬가지로 그어줍니다.

이게 모양이 평행사변형 모양이라서 평행사변형법 인것입니다!

 

이제 Start에서 Finish까지 연결해주면 됩니다.

 

이렇게 되는것이죠

 

같은 방법으로 우리는 d벡터를 구했습니다.

 

 

 

 

 

      양 쪽 두 개 

 

왼쪽은 삼각형법으로 구한 d벡터 즉 a벡터+c벡터의 값이고.

오른쪽은 평행사변형법으로 구한 d벡터 값입니다.

같은 결과가 나왔습니다!

 

아주 쉽습니다. 벡터의 덧셈.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 벡터의 뺄셈입니다.

벡터의 뺄셈은 덧셈과 동일합니다.

 

 

이런 문제가 주어졌다고 합시다.

어떻게 구합니까?

 

벡터는 어떻게 뺄까요?

 

바로 다음과 같이 하는것입니다.

 

 

c벡터의 방향이 180도 뒤집혔고

연산의 부호는 +가 되었고

c벡터에는 -가 붙었습니다.

 

 

즉, 벡터의 뺄셈은, 빼고자 하는 벡터에 -를 붙여서 방향을 뒤집어 새로운 벡터를 만든 다음

두 벡터를 더하는. 결국은 덧셈이다!

 

 

그 이후에는 삼각형법, 평행사변형법을 자유자재로 사용하면 됩니다!

 

 

 

이것이 벡터의 뺄셈의 결과입니다. 직접 해보세요!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그렇다면 두 벡터가 일직선상에 놓인 경우는 어떻게 더하고 뺄까요?

다음과 같이 하면 됩니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

여러 벡터는 꼬리물기 방법으로 더해주면 됩니다.

 

 

 

이렇게 말이죠.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

이제 벡터의 실수배에 알아봅시다.

실수배라는것은 어떤 벡터에다가 곱하기 실수를 해줬다는 뜻입니다.

a벡터 곱하기 3, a벡터 곱하기 √5

이런식으로요.

 

곱하기 실수를 하면, 벡터의 길이가 늘어나는것입니다.

이게 끝입니다... 아주 단순하지요.

 

 

 

-를 곱하게 되면 벡터의 방향이 뒤집어지는것이고

0을 곱하게 되면 벡터는 영벡터가 됩니다. 없어진다고 생각하면 편할 듯 합니다.

 

 

 

 

그리고 이제 단위벡터와 성분벡터에 대해 알아봅시다.

단위벡터는 1편에서 공부했습니다. 각 축을 향하며 길이가 1인 벡터이죠.

x단위벡터, y단위벡터 이렇게 있는데.

이것을 벡터의 실수배를 이용하면 엄청나게 편해집니다.

 

x단위벡터, y단위벡터는 각각 i햇, j햇 또는 x햇, y햇이라고 표현하면 되고. 다음과 같이 사용합니다.

 

 

 

 

 

 

 

이렇게 임의의 a, b벡터가 있다고 해봅시다.

 

 

 

즉 이것을 의미하는것입니다.

또한, 성분벡터 표시를 이용해서

 

a벡터=(1, 0)

b벡터=(2, 0)

으로 표기할 수도 있겠죠.

 

 

 

 

 

 

또한 이런 것도 가능합니다.

 

 

이런 벡터가 있다고 치면 이 벡터는, a벡터=(6,3)으로 표기가 가능하고.

 

이렇게 표현이 가능합니다.

 

 

그 이유는 바로 벡터의 덧셈과 관련이 있는데요.

 

6i^ + 3j^ 이라는 건 그림과 같이 표현되지요

 

 

이제 아시겠죠?

파란색 두 벡터의 합이 바로 흐린 벡터이므로

 

이렇게 표현되는것입니다.

 

이것은 나중에 내적, 외적에서도 편리하고

여러 벡터의 계산에서도 편리합니다. 각각의 성분끼리 계산해주면 되기때문입니다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

두 벡터를 더하라는 문제가 있다고 칩시다.

 

각각 a벡터=(6, 3)   b벡터=(-4, 2) 라는 걸 아시겠나요?

 

 

물론 이렇게 더할 수도 있습니다.

삼각형법을 이용한것이죠.

 

결과값 벡터(c벡터 라고 하면)   c = (2, 5)이군요.

 

 

 

그런데 잘 보면 우리는 지금 

a=(6,3)

b=(-4,2)

c=(2,5)

 

이런 결과를 얻어냈는데요.

 

 

잘 분석해보면...

 

 

이렇게 x성분끼리 더하고, y성분끼리 더하면 벡터의 합을 구할 수 있는것입니다! 아주 유용하죠.

 

 

 

3편에서는 벡터의 곱셈에 대해 알아봅시다.

과연 어떻게 곱하는것일까요??

수식이 많이 들어갈테니 2편을 복습을 잘해야 3편이 이해가 잘 될 것 같네요..