여러 점 전하가 만드는 전기장

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안녕하세요, 설군입니다.

다음과 같이 반지름이 $d$ 인 원 위에 양전하 $q_1$ 이 위에 하나 아래에 하나, 음전하 $q_2$ 가 왼쪽에 놓여있습니다.

점 P 에서, 세 전하가 만드는 전기장의 크기와 방향을 구해봅시다.

 

점 P 에서 세 전하가 만드는 전기장을 구하기 위해서는, 각각의 전하 하나가 점 P 에 만드는 전기장을 벡터로 구한 뒤에, 그 벡터들을 모두 더해주면 됩니다.

 

먼저 파란색 음전하가 점 P 에 만드는 전기장의 크기와 방향을 구해봅시다.

음전하는 점 P 로부터 당겨지는 방향으로 전기장을 만들테므로, 벡터의 방향은 위와같이 파란색 벡터로 그려집니다.

그리고 음전하가 만드는 전기장의 크기는 쿨롱의 법칙에 의해 다음과 같이 구할 수 있습니다.

크기와 방향을 구했고, 이를 벡터로 표현해주기 위해서 오른쪽 방향을 +x 방향으로 설정하였습니다.

이렇게 해서 음전하 하나가 점 P 에 만드는 전기장의 크기와 방향을 모두 구했습니다.

 

이번에는 빨간색 양전하들이 만드는 전기장을 구해봅시다.

이번에도 빨간색 양전하 하나를 선택해서, 그 양전하 하나가 점 P 에 만드는 전기장을 각각 구하면 됩니다.

그런데 먼저 생각해봅시다.

위에 있는 양전하를 A, 아래에 있는 양전하를 B 라고 한다면, A 와 B 가 점 P 에 만드는 전기장의 방향은 위와 같이 표현할 수 있습니다.

양전하 A, B 의 전하량은 동일하고, 점 P 로부터 떨어진 거리도 동일하기 때문에, 각각의 양전하들이 점 P 에 만드는 전기장의 크기는 정확히 동일할 것입니다. 그런데 방향에만 차이가 있죠.

 

양전하 A 가 만드는 전기장을 $E_{\rm{A}}$, 양전하 B 가 만드는 전기장을 $E_{\rm{B}}$ 라고 놓고, 이 각각의 전기장들을 벡터 분해 하여, x, y 성분을 나누어봅시다.

각각의 전기장을 분해하게 되면,

양전하 A 가 만드는 전기장의 x 성분, y 성분

양전하 B 가 만드는 전기장의 x 성분, y 성분

이렇게 분해가 되므로, 검정색으로 그린 총 네 개의 전기장 벡터가 얻어집니다.

 

그런데 이 벡터에서, y 방향의 두 벡터는 정확하게 방향이 반대이고, 크기가 같으므로 상쇄됩니다.

그렇다는 말은, 양전하 A 와 양전하 B 가 점 P 에 만드는 전기장의 방향은 어쨌든 +x 방향이라는 뜻입니다.

그리고 그 크기는, 하나의 양전하가 만드는 전기장의 크기의 x 성분만을 구한 뒤, 그것을 두배 해준 것과 같다는 말입니다.

 

그렇다면, 하나의 양전하가 만드는 전기장의 크기는 어떻게 구해질까요?

양전하 B 가 만드는 전기장의 크기만 구해본다면 위와 같이 구할 수 있습니다.

그럼 이제 $\vec{E}_{\rm{B}}$ 를 성분 분해 해 봅시다.

문제에서 주어진 각도 $\theta$ 가 있기 때문에, 이를 이용해서 삼각비로 표현하면 쉽게 성분 분해를 할 수 있습니다.

y 성분은 어차피 양전하 두개가 서로 상쇄시킨다고 했으므로 우리는 최종적으로 점 P 에서의 전기장을 구하기 위한 준비가 모두 끝났습니다.

x 성분의 벡터 세 개를 모두 더해주면 됩니다.

음전하가 만드는 전기장 벡터, 양전하 두 개가 만드는 전기장 벡터 (두 개)

따라서 위와 같이 정리할 수 있습니다.

 

만약 점 P 에, 전하량이 대문자 Q 인 점전하가 놓인다면, 그 점전하가 받는 전기'력'의 크기와 방향은?

전기장이 $\vec{E}$ 인 전기장 속에, 전하량이 $Q$ 인 전하가 놓인다면, 그 전하는 전기력을 받습니다.

전기력의 방향을 따지는 것은 쉽습니다. 놓인 전하가 양전하라면, 전기장의 방향으로 전기력을 받고

놓인 전하가 음전하라면, 전기장의 반대 방향으로 전기력을 받습니다.

놓인 전하가 받는 전기력의 세기를 따지는 것도 쉽습니다. 놓인 전하의 전하량 $Q$ 와, 전기장의 세기 $E$ 를 곱해주면 그것이 바로 놓인 전하가 받는 전기력의 세기입니다.

문제에서, 특정 지점에서의 전기장을 구하고, 그 지점에 임의의 또다른 전하를 가져다두었을 때, 그 전하가 전기장으로부터 받는 전기력을 구하라고 한다면 위의 식을 이용하면 끝입니다.