구면 좌표계에서의 부피 요소

 

 

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안녕하세요, 설군입니다.

 

구면 좌표계에서 적분을 할 때, 구면 좌표계에서의 부피 요소를 기억해내야 합니다. 다음 그림을 기억하면 쉽게 공식을 기억해낼 수 있습니다.

 

구면 좌표계에서는 z축으로부터 임의의 점까지의 각도를 $\theta$ 로 나타냅니다. 그리고 x축으로부터 임의의 점까지의 xy 평면 상에서의 각도를 $\phi$ 로 나타냅니다. 그리고 원점으로부터 임의의 점까지의 직선 거리를 $r$ 로 나타냅니다.

그래서 한 점을 나타내는 좌표는 $r$, $\theta$, $\phi$ 로 결정됩니다. 그 점을 그림상에서 노란색으로 표시하였습니다.

 

이제 임의의 한 점에서, 각 변수들을 약간만큼 증가시켜서 각각 $\Delta r$ 만큼 길이를 증가시키고, $\Delta \theta$ 만큼 z축으로부터의 각도를 살짝 증가시키고, $\Delta \phi$ 만큼의 xy 평면 상에서의 각도를 살짝 증가시킨다고 생각해봅시다. 그렇게 완성된 위치의 점 $(r+\Delta r, \theta + \Delta \theta , \phi + \Delta \phi)$ 을 보라색으로 표시하였습니다.

그리고 나서, 원래의 노란색 점 위치를 한 꼭지점으로 하고, 나중의 보라색 점 위치를 대각선 꼭지점으로 하는 케이크 조각같은 부피 요소를 생각해볼 수 있습니다.

 

이 부피 요소는 그냥 정육면체 상자의 부피로 근사하여 구할 수 있습니다. 아랫면의 두 변의 길이가 각각 $\Delta r$ 이고 $r \sin (\theta) \Delta \phi$ 인 상자인 셈이고, 높이는 $ r \Delta \theta$ 인 셈이지요. 이 요소들을 모두 곱하게 되면 미소 부피 요소 $\Delta V$ 는

 

$$ \Delta V = \Delta r \cdot r \sin (\theta) \cdot \Delta \phi \times r \cdot \Delta \theta $$

가 됩니다. $\times$ 기호의 좌변은 상자의 아랫면의 넓이를 말하는 것이고, 우변은 상자의 높이를 말하는 것입니다.

이렇게 부피 요소를 구하게 되었고, 다음으로 적분을 하기위해서는 이 미소 요소 $\Delta$ 라고 적어주었던 것들을 모두 d 로 바꾸어 주기만 하면 됩니다.

 

그래서 위와 같이 기억해두면, 적분 요소 $dV$ 는 다음과 같이 쉽게 유도할 수 있습니다.

$$ dV = r^2 \sin (\theta) dr d\theta d \phi $$