2차원 평면에서 움직이는 물체의 운동 분석

 

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안녕하세요, 설군입니다.

 

입자가 $xy$ 평면상에서 움직이고 있습니다. 시간 $t=0$ 일 때 입자가 원점에서 출발합니다. 원점에서 출발할 때 초기 속도의 $x$ 성분은 $20 \ \mathrm{m/s}$ 이고, 초기 속도의 $y$ 성분은 $-15 \ \mathrm{m/s}$ 입니다. 입자가 $x$ 방향으로 가속도 $a_x = 4.0 \ \mathrm{m/s^2}$ 의 가속도를 받고 있습니다.

 

(1) 특정 시간에서의 입자의 속도

이 때 특정 시간 $t$ 에서의 입자의 속도를 식으로 나타내봅시다.

입자의 속도를 식으로 나타내라고 하였으므로, $v_x$, $v_y$ 속도의 모든 성분들을 각각 나타낸 후 벡터의 덧셈으로 표현해주면 됩니다.

 

먼저 $x$ 방향에 대한 운동만, 1차원 운동이라고 생각하고 분석할 수 있습니다.

1차원 상에서 일정한 크기의 가속도를 받고 있고, $x$ 축 방향의 초기 속도 성분을 가지고 있기 때문에, 등가속도 운동 공식을 적용할 수 있습니다.

$$ v = v_0 + at $$

따라서,

$$ v_x(t) = v_{x0} + a_x t $$

로 표현할 수 있으므로,

$$ v_x(t) = 20 + 4t $$

입니다.

 

그리고 $y$ 방향에 대한 운동도, 1차원 운동이라고 생각하고 분석할 수 있습니다.

$y$ 방향에 대해서는 입자가 가속도를 받고 있지 않습니다. 그냥 등속 직선 운동 할 뿐입니다.

따라서

$$ v_y(t) = -15 $$

입니다.

 

이렇게 구해진 $v_x(t)$ 와 $v_y(t)$ 를 벡터의 덧셈으로 표현해주면 됩니다. 따라서

$$ \vec{v}(t) = v_x(t) \hat{x} + v_y(t) \hat{y} $$

이므로,

$$ \vec{v}(t) = (20 + 4t) \hat{x} -15 \hat{y} $$

가 최종 정답이 됩니다.

 

이를 그림으로 표현해보면 다음과 같습니다.

파란색 화살표는 속도의 $x$ 성분을 각 시간별로 표시한 것입니다. 시간에 따라 파란색 화살표의 길이가 점점 $+x$ 방향으로 증가합니다. 즉 $x$ 방향 속도 성분은 시간에 따라 증가한다는 것입니다.

빨간색 화살표는 속도의 $y$ 성분을 각 시간별로 표시한 것입니다. 시간이 바뀜에도 빨간색 화살표의 길이는 변하지 않고 일정합니다. 왜냐하면 $y$ 방향으로는 가속도가 존재하지 않는 상황이기 때문입니다.

노란색 화살표는 파란색 화살표와 빨간색 화살표의 벡터 합 결과입니다. 즉, 입자의 속도 벡터 $\vec{v}$ 를 나타냅니다.

 

(2) 특정 시간을 대입하기

만약 이런 상황에서, 특정 시간 $t=5$ 일 때의 입자의 속력을 구하라, 그리고 그 때의 속도 벡터가 $x$ 축과 이루는 각도를 구하라고 한다면?

 

특정 시간일 때의 입자의 속력은 아까 구한 함수에서 $t=5$ 를 대입해주면 되므로,

$$ \vec{v} (t=5) = (20 + 4 \times 5 ) \hat{x} - 15 \hat{y} $$

따라서 속도의 크기인 속력은,

$$ v = | \vec{v} | = \sqrt{(40^2 + (-15)^2} = 43 \ \mathrm{m/s} $$

이 됩니다.

 

속도 벡터가 $x$ 축과 이루는 각도는 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

위와 같이 그림을 그려서 생각하면 굉장히 쉬운데요,

속도 성분을 분해해서 그림을 그려보면,

$$\tan (\theta) =  \frac{v_y}{v_x} $$

의 삼각함수 식을 만족한다는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면 위의 그림에서 그려진 삼각형의 각각의 변의 길이가 속력 $v_x$, $v_y$ 와 동일하게 생각할 수 있기 때문이죠.

따라서 그 각도를 구하기 위해서는 탄젠트의 역함수를 취해주면,

$$ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{15}{40} \right) = 21^\circ $$

임을 알 수 있습니다.

여기서, 각각의 속력 성분들의 크기만을 가져와서 분수로 정리해주었습니다. 그냥 삼각형의 변의 길이라고 생각할 수 있기 때문에 각각의 속력 성분의 절댓값만을 가져와서 적용하였습니다.

따라서 이 순간에 입자의 속도 성분이 $x$ 축과 이루는 각도는, $+x$ 축으로부터 시계방향으로 $21^\circ $ 라고 말하면 됩니다.

 

(3) 특정 시간에서의 입자의 위치

위의 (1), (2) 에서는 입자의 속도에 대한 정보들을 다루었습니다.

위치에 대한 정보도 1차원에서의 등가속도 운동에 대해 분석할 때처럼 똑같이 분리하여 다루면 됩니다.

 

$x$ 축에 대해서 먼저 생각해봅시다.

$$ x(t) = x_0 + v_{x0} t + \frac{1}{2} a_x t^2 $$

(여기서 $x(t)$ 는 $t$ 초인 순간의 입자의 $x$ 좌표(위치), $x_0$ 는 입자가 처음에 있던 $x$ 좌표 (이 문제에서는 원점), $a_x$ 는 입자가 $x$ 축 방향으로 받고 있는 가속도입니다.)

으로 적을 수 있으므로,

$$ x(t) = 0 + 20 \times t + \frac{1}{2} \times 4 \times t^2 $$

으로 적으면 됩니다. (단위는 $\mathrm{m}$ 입니다.)

 

$y$ 축에 대해서도 생각해봅시다.

$$ y(t) = y_0 + v_{y0} t + \frac{1}{2} a_y t^2 $$

으로 적을 수 있으므로,

$$ y(t) = 0 - 15 \times t + \frac{1}{2} \times 0 \times t^2 $$

으로 적으면 됩니다.

 

이를 벡터로 나타내려면,

$$ \vec{r}(t) = x(t) \hat{x} + y(t) \hat{y} $$

로 각각 단위 벡터를 붙여주면 되므로,

$$ \vec{r}(t) = (20 t + 2 t^2) \hat{x} - 15 t \hat{y} $$

로 정리됩니다.