축전기에 저장된 에너지

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안녕하세요, 설군입니다.

전하가 두 개 이상 놓여있는 계를 생각한다면, 그 계의 전기 퍼텐셜 에너지를 계산할 수 있습니다.
$$ \text{(첫 번째 전하를 빈 공간에 가져오는 데 필요한 일)} + \text{(두 번째 전하를 가져오는 데 필요한 일)} + \cdots $$
이렇게 계산하면 되는데요, 축전기도 역시 전하가 모여 있는 계이기 때문에 에너지를 생각해볼 수 있습니다.
이를 축전기에 저장된 에너지라고 하고, 어떻게 계산하는지 알아봅시다.

전하가 충전되지 않은 축전기와, 스위치, 전지를 회로로 연결한 상황을 생각해봅시다.

회로에 스위치가 열려있을 때에는 아무런 일도 일어나지 않지만, 스위치가 연결되고 나면, 전지의 전기 퍼텐셜 차이에 의해 전류가 흐르므로 전자가 움직입니다. 전지의 $(-)$극과 연결된축전기의 극판에 전자가 많이 쌓이게 되므로, 상대적으로 그 반대 극판은 양전하가 쌓인 것과 같은 효과가 됩니다.

축전기에 하나도 없던 전하를 쌓기 위해서는 일이 필요합니다. 사실은 이것이 바로 축전기에 저장된 전기 에너지입니다.
이는 어떻게 계산할까요?
결과만 보면, 결국 축전기에는 전하들이 쌓여 퍼텐셜 에너지를 가지게 된 셈입니다. 즉 전하들이 최종적으로 가지고 있는 퍼텐셜 에너지 값이 바로, 전하에게 해준 일입니다. 임의의 전하량 $dq$가 퍼텐셜 에너지 $\Delta v$를 가지게 된다면, 그 전하에게 해준 일은 다음과 같습니다.
$$ dW = \Delta v \ dq = \frac{q}{C} dq $$
그런데 축전기에서는 이 퍼텐셜 에너지라는 것이, 매 순간 순간의 전하 $q$에 대해 $q= C \Delta v$의 관계식을 만족하기 때문에, 축전기에 전하가 찰 때마다($q$가 바뀔 때마다) 계속해서 축전의 전기 퍼텐셜 에너지가 달라집니다. 그래서 단순히 모조리 더할 순 없고 적분을 해주어야 합니다.
전하가 $q=0$에서부터, $q=Q$까지 찰 때까지 전하에게 해준 총 일의 양은, 전하가 어떤 퍼텐셜 에너지를 갖게
$$ W = \int_0^Q \frac{q}{C} dq = \frac{1}{C} \int_0^Q q \ dq = \frac{Q^2}{2C} $$
가 됩니다. 결론적으로 총 전하량 $Q$로 나타내어 질 수 있습니다.

이것이 축전기에 저장된 전기 에너지이며, 다음과 같은 관계식을 가집니다. 축전기가 최대로 충전되었을 때의 축전기에 걸리는 전기 퍼텐셜 차이는, 앞서 그림에서 전지의 전기 퍼텐셜 차이 $\Delta V$와 관계식을 가지는데, $ Q = C \Delta V $라는 관계식을 만족합니다. 이를 이용하면,
$$ U_{\rm{E}} = \frac{Q^2}{2C} = \frac{1}{2} Q \Delta V = \frac{1}{2} C (\Delta V)^2 $$
라는 유용한 식을 얻을 수 있어요.
우리가 생각했던
축전기의 전기용량의 경우 $ C = \varepsilon_0 \frac{A}{d} $이고, 평행판 축전기 사이의 전기장이 $E$, 간격이 $d$일 때, 두 극판 사이의 전기 퍼텐셜 에너지는 $\Delta V = Ed$를 만족하므로, 이를 대입해서 생각해보면
$$ U_{\rm{E}} = frac{1}{2} \left( \varepsilon_0 \frac{A}{d} \right) (Ed)^2 = \frac{1}{2} \varepsilon_0 A d E^2 $$
라는 식을 만족합니다. 여기서 $Ad$는 마치 축전기의 극판의 면적과 두께 $d$를 가지는 빈 공간의 부피라고 볼 수 있는데요, 이 부피를 좌변으로 보내주면,
$$ U_{\rm{E}}/V = u_{\rm{E}} = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 $$
의 식을 알 수 있습니다.
$u_{\rm{E}}$는 축전기 사이에 빈 공간이 있고, 그 공간에 전기장 $E$가 펼쳐져 있는 상황에서 그 전기장에 저장된 에너지 밀도를 말합니다.