물리 2 - 포물선 운동

안녕하세요, 설군입니다.

 

물리 2에 대해서도 글을 써 봅시다.

가장 먼저 나온는 건 벡터, 스칼라, 그리고 벡터 분해에 대한 개념인데

이미 블로그에 올려놓았으므로 참고해보세요.

 

문제를 푸는 법을 익히는것을 목적으로 글을 쓰고자 합니다. 중요 개념을 짚고 넘어갑시다.

포물선 운동, 등속 원운동, 등가속도 운동(벡터 분해를 통한)등을 역학 단원에서 짚을것이고

전자기 단원에서도 짚어야할 게 있는데 이미 전기장과 자기장에 대해서 글을 쓴 것이 있으므로 참고해보시고요.

3, 4단원은 보통 고등학교 내신으로는 잘 안들어갈것인데 모의고사를 준비한다면 역시 준비해야겠죠

기하광학, 도플러 효과 그리고 4단원의 양자 역학 단원을 공부해야겠네요.

 

 

 

 

 

포물선 운동은 지구상에서 아주 대표적인 운동입니다.

등가속도 운동이라고 할 수 있고요.

 

 

 

지면과의 어떠한 각도를 이룬 상태로 던져진 물체는 아래로 중력을 받습니다.

사실 지구 중심 방향으로 중력을 받는것이므로 물체가 받는 중력의 방향은 항상 달라지지만

우리가 실험하는 평지는 아주 평평하고, 지구 크기에 비해서 아주 작으므로

 

실험하는 장소는 아주 평형한 곳, 또한 중력의 방향은 항상 아래 방향이라고 생각하고 포물선 운동을 분석합니다.

 

위 그림과 같이 분석할 수 있는데요.

x방향 속도는 v0cos@로 항상 일정합니다. (x방향 성분으로는 아무런 힘도 가해지지 않음(운동중에는))

 

그런데 주황색 화살표로 표시한 것처럼 y방향의 속도 벡터는 항상 바뀝니다. 중력에 의해서 점점 줄어서 꼭대기(4)에서는 0이 되지요

 

꼭대기에서 속력이 0인것은 아니지요. 왜냐하면 x방향 성분이 남아있으므로.

 

 

또한 임의의 2번같은 지점에서의 '속력'을 구하라는 문제가 주어졌다면

벡터의 크기 계산을 통해서 x축 속력과 y축 속력의 제곱 제곱 이런식으로 피타고라스 정리를 이용해서 구하면 됩니다.

 

 

또한, 역학적 에너지 보존 법칙에서도 알 수 있듯이 1번과 7번에서의 속력은 동일하고요

y방향의 속도벡터는 방향만 반대이고 크기는 같습니다.

 

 

 

 

 

 

 

이처럼 포물선 운동을 분석할 수 있습니다.

포물선 운동에서 처음 속력을 v0라고 하고, 지면과의 각도를 @(세타)라고 할 때

처음 순간의 x성분의 속력은 v0cos@, y성분의 속력은 v0sin@로 표현 가능하고

 

t초가 지났을 때의 그 속도는 x방향의 경우 v0cos@로 일정하고

y방향의 경우 중력이라는 y축에 평행한 방향의 힘을 받기 때문에 등가속도 운동이고

그 가속도는 아래쪽 방향의 g라는 크기를 갖습니다.

 

vx = v0cos@ 일정 &

vy = vosin@ - gt (시간에 따라 변함)

 

 

 

포물선 운동 문제에서 자주 등장하는 건 최대 높이를 구하라, 최대 높이 까지 도달하는 데 걸린 시간을 구하라,

총 운동한 시간을 구하라, 총 운동한 수평 거리를 구하라.. 이런 것입니다.

 

이것은 포물선 운동의 궤적을 반으로 쪼개면 쉽습니다.

 

 

최대 높이까지 가는 데 걸린 시간을 tH 라고 한다면,

전체 운동하는 데 걸린 시간 T = 2 * tH 입니다.

 

즉 올라갔다가 내려오는 시간은 동일하므로 한쪽의 두 배만 해주면 된다는것이죠.

근데 tH는 어떻게 구하냐하면?

y방향 속도 성분만 보면 됩니다.

y방향 속도 성분이 0이 되는 지점이 바로 최대높이 지점이죠?

그래서 y방향 속도가 0이 될때까지 운동한 시간을 구하면 그것이 바로 tH입니다.

등가속도 공식 중에 첫 번째 공식이 바로 v=v0+at라는 공식인데,

이걸 y방향 속도 성분에다가 대입해보면

0=v0sin@ - g(tH) 이렇게 되고요.

따라서 최고높이 도달시간 tH=(v0sin@)/g

이렇게 되는것입니다.

 

 

그리고 우리가 흔히 아는 등가속도 공식에서 거리 공식에 대입하면 각각 높이와 수평거리를 구할 수 있습니다.

 

 

최고높이 도달시간 tH=(v0sin@)/g 라고 방금 구한걸 이용합니다.

 

 

 

 

이와같이 분석할 수 있습니다.

 

 

 

<2016학년도 9월 모의평가>

 

간단한 문제입니다.

 

동시에 A와 B가 도착한다고 했습니다.

또한 동시에 출발해서 동시에 도착했으므로

A가 총 운동한 시간 = B가 총 운동한 시간 일것입니다.

그 시간을 T로 놓고 풀어봅시다.

 

 

이와 같이 풀 수 있습니다.

 

 

 

2017학년도 대수능 문제입니다.

 

이 문제도 역시 A와 B는 동시에 운동을 시작했고, 동시에 점 r에 도달했습니다.

이전 문제와 아주아주 똑같은 문제네요. 좀 더 숫자만 복잡한 것 같고.

 

 

 

이렇게 g와 h로 나타낸 시간을 구할 수 있습니다.

즉, 이건 처음 A가 발사되어서 최대 높이까지 가는 데 걸린 시간입니다.

 

이제 A의 궤도 나머지 반쪽을 운동하는데 걸린 시간을 구해야죠.

 

 

아예 꼭대기에서부터 x방향 성분의 속도만 있다고 생각하고 식을 세웁니다.

그러면 쉽게 구할 수 있습니다.

 

따라서 총 시간을 두개 구했고.

그 두개를 더한값은 바로 총 운동시간이죠.

 

 

이제 구하면 됩니다!

 

 

막상 풀어보니 그렇게 쉽진 않네요.

식이 길고 복잡하고, 이전에 구해놓았던 값(여기선 v0)을 나중에도 대입해서 풀어나가야 하는 경우가 있어서요.