직선 도선이 만드는 자기장

반응형

안녕하세요, 설군입니다.

임의의 유한한 길이를 가지는 도선이 $x$ 축 상에 놓여있고, 전류가 $+x$ 방향으로 흐르는 상황입니다. 이 도선은 도선을 주변으로 자기장을 만들텐데, 이 중 $y$ 축 상의 한 점 P 지점에서의 자기장을 구해봅시다.

그림에서 보다시피, 도선의 길이가 유한하지만 그 중심을 기준으로 $y$ 축을 잡는 상황이 아니라, 약간 엇나가게 $y$ 축을 잡은 상황입니다. 그래서 위의 그림에서, P점을 기준으로 도선의 좌, 우 끝단까지 뻗어있는 선이 $y$ 축과 이루는 각도를 각각 $\theta_1, \theta_2$ 로 다르게 잡았습니다.

 

임의의 모양의 도선에 전류가 흐를 때에, 그 도선은 자기장을 만듭니다. 임의의 지점 P에서 그 도선이 만드는 자기장을 구하기 위해서는 비오-사바르 법칙을 이용합니다.

 

# 비오-사바르 법칙

위의 그림과 같이 구부러진 모양의 도선이 있고 전류가 그림에 표시한 파란색 화살표 방향으로 흐르는 상황이라고 가정합시다. 이 때 P지점에 이 도선이 만드는 자기장을 구하는 일반적인 상황입니다. 많은 물리학 문제가 그렇듯, 구부러진 모양의 도선을 이루는 아주 작은 조각 도선 $ds$ 를 생각합니다. 이 $ds$ 는 조각 도선의 길이가 $ds$ 이고, 그 조각 도선에서 전류가 흐르는 방향까지 생각하여 $d\vec{s}$ 로 표현합니다.

구부러진 모양의 도선은 수많은 조각 도선으로 이루어져있을 텐데, 그 중에 아무거나 하나의 조각 도선을 생각하는 상황입니다.

그리고 이 조각 도선의 중심으로부터 내가 자기장을 구하고자 하는 지점 P까지를 빨간색 선으로 쭉 이었다고 생각하면, 조각 도선의 중심으로부터 P점까지의 방향을 나타내는 방향 벡터 $\hat{r}$ 을 생각할 수 있습니다.

 

이 작은 조각 도선 하나가 만드는 작은 자기장 $d \vec{B}$ 는 다음과 같습니다.

작은 조각 도선을 나타내는 벡터 $d\vec{s}$ 와, 그 도선으로부터 P점까지의 방향 벡터 $\hat{r}$ 의 외적을 계산해야 하기 때문에, 위의 그림에서 각도 $\alpha$ 를 표현한 것입니다.

그리고 여기서 $r$ 이라는 거리를 나타내는 물리량은, 작은 조각 도선의 중심으로부터 P점 까지의 거리입니다. 이렇게 작은 도선이 만드는 작은 자기장을 구했으면, 구부러진 도선 전체가 만드는 자기장은 이를 적분해주면 됩니다.

최종적인 결과는 위와 같이 되는데, 이 때 작은 도선을 의미하는 벡터 $d \vec{s}$ 를 따라가면서 적분하고자 하는것이고, 이 적분은 도선의 모양에 따라 $dx$ 와 같은 식으로 표현을 할수도 있고, $d \theta$ 와 같은 식으로 표현할 수도 있어서 문제에 따라 $d \vec{s}$ 를 어떻게 쉽게 표현해야 적분이 쉬워질지를 고민해야 합니다. 보통은 도선의 모양을 보고 정합니다.

 

#직선 도선이 만드는 자기장

우리의 문제는 다음과 같습니다.

오른쪽으로 전류가 흐르고 있는 상황이고, 임의의 작은 조각 도선 $d\vec{s}$ 를 그림과 같이 잡았습니다. 원점으로부터 작은 조각 도선까지의 거리는 $x$ 이고, 이는, 나중에 적분할 때 $x$ 로 적분하기 위해 미리 잡아둔 것입니다. 그리고 조각 도선으로부터 P점까지의 거리는 그림에서 표시한 $r$ 입니다. 그리고 그것이 $y$ 축과 이루는 각도는 $\theta$ 입니다. 이는 $r$ 과 $\theta$ 를 이용하면 $x$ 와의 관계식을 얻을 수 있기 때문에 설정해둔 변수입니다. $a$ 는 원점으로부터 P점까지의 수직 거리입니다.

 

좀더 정리하자면, $d \vec{s}$ 를 적분할 때, 즉 도선을 이루는 작은 조각 도선 $d \vec{s}$ 의 위치를 바꾸어가며 그 작은 조각 도선이 만드는 자기장을 모조리 구해 더하려고 하는것이고. 그렇게 조각 도선의 위치가 바뀌면서 같이 바뀌는 변수는 $x, r, \theta$ 입니다.

 

비오-사바르 법칙을 적용하기 위해, 분자의 외적을 먼저 계산해봅시다. 외적은 $d \vec{s} \times \hat{r}$ 입니다.

문제 상황을 들여다 보면, 도선의 작은 조각을 생각할 때 어차피 $x$ 방향으로 적분할 테니까, $d \vec{s}$ 는 곧 $d \vec{x}$ 와 같습니다. 그리고 외적을 하기 위해서 먼저 외적의 결과 방향만 생각해보면, $d \vec{s}$ 방향을 오른손 네 손가락으로 두고, $\hat{r}$ 방향으로 오른손을 휘감아 쥐면, 엄지 손가락은 화면을 뚫고 나오는 방향을 향하게 됩니다. 이 방향은 $+z$ 방향이고, 이것이 바로 외적의 결과 방향입니다. 따라서 방향은 찾았습니다. 그리고 $d \vec{s}$ 와 $\hat{r}$ 이 이루는 각도의 sine 값을 생각해주면 되는데, $ \sin (90^\circ - \theta) $ 는 $ \cos (\theta)$ 가 되므로, 위와 같이 정리가 됩니다.

최종적으로는 작은 도선 조각이 만드는 자기장을 구했습니다. 이를 적분해주기만 하면 되는데, 문제의 맨 위에서 설정한 것처럼 적분 시 $d \theta$ 로 할 때 $\theta$ 의 범위가 $\theta_1 \ \rightarrow \theta_2$ 가 됩니다. 이렇게 하기 위해서는 $dx$ 를 $d \theta$ 와 관련되도록 바꾸어 주어야 합니다.

문제에서 $x$ 는 원점으로부터 작은 조각 도선까지의 거리라고 했고, 이 관계를 이용하면 위와 같이 $dx$ 와 $d \theta$ 의 관계식을 얻어낼 수... 있을것처럼 생각되지만 이런 식으로 접근하면 안 됩니다. 왜냐하면 $r$ 도 변수이기 때문에 위와 같이 미분에서 자유로울 수가 없어요! 다음과 같이 최대한 상수와의 관계를 찾는것이 중요합니다.

이렇게 관계식을 찾았습니다. 여기서 또 중요한 건, 우리는 단순히 삼각형의 변의 길이만을 가지고 관계식을 찾는 것이 아니라는 것 입니다. $x$ 라는 변수는 원점을 기준으로 음수였다가 양수가 되기 때문에 부호를 고려해주어야 합니다. 처음에 우리가 작은 도선 조각의 위치를 $x<0$ 인 곳으로 잡아놓았기 때문에, 그것을 기준으로 관계식을 세워주어야 합니다.

이를 정리하면 다음과 같이 됩니다.

여기서 $r$ 도 변수라고 했는데, 위의 삼각형 그림에서 $r$ 과 $a$ 와의 관계식을 찾을 수 있습니다. 이를 넣어주면

이와 같이 정리됩니다. (파란색으로 표시한 것이 $1/r^2$ 입니다)

남은 것은 적분입니다.

이렇게 해서 직선 도선이 만드는 자기장을 찾았습니다. 바로 검산해볼 수 있는 것은 자기장의 방향입니다. 직선 도선이 $x$ 축에 놓여있고, 전류의 방향이 $+x$ 방향입니다. 따라서 곧바로 오른 나사 법칙을 이용하면 P점에서의 자기장의 방향은 화면을 뚫고 나오는 $+z$ 방향이라는 것을 알 수 있어요.