전류 고리(반원)에 작용하는 자기력 구하기

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안녕하세요, 설군입니다.

 

위의 상황과 같이, 자기장이 $y$ 방향으로 균일하게 펼쳐진 공간에, 반원 모양의 도선이 있고 전류가 흐르고 있습니다. 도선의 반지름은 $R$ 이고, 전류는 그림과 같이 반시계 방향으로 흐르고 있습니다. 전류가 흐르는 도선이 자기장 속에 있을 때, 그 도선은 자기장으로부터 자기력을 받을 수 있는데 그 자기력이 얼마인지 구해봅시다.

임의의 작은 조각 도선이 자기장 속에 있을 때 받는 자기력을 구하는 방법은 잘 알고 있으므로, 그것을 이용해봅시다. 작은 조각 도선이 받는 자기력을 구한 다음 이를 적분하여 고리 전체가 받는 자기력을 구하려고 합니다. 그러므로 위의 그림과 같이 고리 도선을 작게 쪼갠 임의의 작은 도선(노란색)을 생각해봅시다.

작은 도선의 길이를 $ds$ 라고 하고, 그 도선이 흐르는 전류의 방향을 고려하여 벡터로 $d \vec{s}$ 라고 표현합시다. 그리고, 부채꼴의 공식 중에 반지름을 알고 각도를 알고있을 때 호의 길이를 알 수 있습니다.

따라서 길이가 $ds$ 인 호의 길이는, 반지름 $R$ 과 호의 각도 $d \theta$ 를 곱한,

$$ ds = R \cdot d \theta $$

를 만족한다는 사실을 기억해두세요.

그리고, $x$ 축으로부터 작은 조각 도선까지가 이루는 각도를 $\theta$ 라고 합시다.

 

한편, 임의의 전하 $q$ 가 자기장 속에 놓여 있고, $\vec{v}$ 의 속도 벡터를 가지고 움직일 때, 그 전하가 자기장으로부터 받는 자기력은 다음과 같습니다. 따라서 임의의 작은 조각 전하 $dq$ 가 받는 자기력 $d \vec{F}$ 을 생각한다면, 다음과 같이 식을 쓸 수 있어요.

위의 식에서, 속도를 지금 문제의 상황과 맞추어 쪼개보면 식이 정리됩니다. 속도라는 건 진행하는 방향 벡터 $d \vec{s}$ 을 미소 시간으로 나누어준 것이므로 위의 식이 성립하는 것입니다. 그리고 노란색으로 표시한 것은 전류의 정의이므로 문제에서 주어진 전류 $I$ 로 대체할 수 있어요.

 

따라서 위에서 정리한 힘 $d \vec{F}$ 는 미소 조각 도선이 받는 자기력을 나타냅니다.

 

고리를 두 부분으로 나누어 자기력을 구해봅시다. 먼저 고리의 직선 부분을 생각해봅시다.

고리의 직선 부분이 받는 자기력은, 고리의 직선 부분 중 하나의 미소 조각 도선을 택해서 그것을 직선 부분 전체로 적분해주면 되는데요,

위의 식에서와 같이 적분하였습니다. 이 때, 고리의 직선 부분만을 따라갈 때에는 미소 조각 도선을 나타내는 $d \vec{s}$ 가 단순하게, $d \vec{x}$ 로 표현됩니다. 그리고는 미소 조각 도선의 방향은 $\hat{x}$ 방향이고, 자기장의 방향은 $\hat{y}$ 방향이므로 이를 내적해주면 간단하게 $\hat{z}$ 방향이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서 고리 도선의 직선 부분이 받는 자기력의 방향은 $\hat{z}$ 방향이라는 결론을 얻었습니다.

 

그럼, 이번에는 좀 어려워 보이는, 고리 도선의 곡선 부분을 생각해봅시다.

고리의 곡선 부분도 시작은 똑같은데, 저 적분을 어떻게 하느냐가 어려운 부분입니다.

고리의 직선 부분을 생각할 때에는 $d \vec{s}$ 가 단순하게 $d \vec{x}$ 로 표현되어 쉬웠는데, 고리를 따라갈 때에는 어떻게 표현해야 할까요?

외적의 정의를 생각해봅시다.

$$ \vec{A} \times \vec{B} = |A||B| \sin (\theta) \hat{n}$$

로 표현이 되는데, 여기서 방향 $\hat{n}$ 은, 벡터 A 에서 벡터 B 로 오른손을 쥐어 감았을 때 엄지 손가락이 가리키는 방향입니다. (오른 나사 법칙)

즉, 위의 그림과 같은 상황이라면 $d \vec{s}$ 와 $\vec{B}$ 의 외적 방향만 구해보자면, $d \vec{s}$ 를 오른손의 네 손가락 방향으로 잡고, 이 대로 $\vec{B}$ 방향으로 감아 쥐면, 오른손 엄지 손가락은 화면을 뚫고 들어가는 방향. 즉 $- \hat{z}$ 방향이라는 것을 알 수 있습니다. 그리고 외적의 결과값의 크기는 말 그대로 두 벡터의 크기만을 곱한 후, 두 벡터가 이루는 각도의 sine 값을 곱해주면 되므로, 위와 같이 식을 쓸 수 있습니다.

 

따라서 이를 적분식에 그대로 넣어줍니다.

이 때, 위의 식에서 두 번째 줄에서, $ds$ 를 적분하기 위해서는 우리가 맨 처음에 문제 그림을 그렸을 때 표현했던 것 중 하나인 $d \theta$ 를 이용합니다. 호의 길이의 관계식을 이용한 것입니다.

 

결론적으로, 고리의 곡선 부분이 받는 자기력의 크기는 직선 부분이 받는 자기력의 크기와 정확하게 같은데 방향이 반대라서 서로 정확하게 상쇄됩니다. 즉 고리 전체가 자기장으로부터 받는 자기력의 크기는 없습니다.

 

더 많은 문제를 풀다 보면 감을 잡겠지만, 사실은, 고리가 존재해있는 평면이 자기장의 방향과 나란하기 때문에, 자기력을 받지 않는것입니다. 이는 자기 모먼트 개념을 도입하면 정말 쉽게 이해할 수 있습니다.