전력 (Electrical power)

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안녕하세요, 설군입니다.

일반적인 회로에서, 에너지는 전류를 통해 전달됩니다. 배터리같은 에너지의 원천에서부터, 전구나 저항같은 소자로 에너지가 전달됩니다. 이 에너지의 전달의 속도(비율, rate) 가 어떻게 계산되는지 알아봅시다.

위의 그림과 같은 간단한 회로를 생각해봅시다. 배터리의 방향을 보면 전류의 방향을 알 수 있는데, 전류는 시계방향으로 흐르고 있습니다. 이런 상황에서 에너지는 회로 자체의 도선과, 저항으로 전달됩니다. 어떤 소자에 에너지가 전달될 때, 그 소자가 가진 저항의 정도에 따라 그 소자로 전달되는 에너지의 양이 달라질 수 있습니다. 따라서 도선에 전달되는 에너지가 얼마나 될지, 저항으로 전달되는 에너지가 얼마나 될 지를 생각해야 합니다.

일반적으로 회로를 구성하는 도선(전선)은 저항의 크기가 작다고 생각하여, 도선 자체에 전달되는 에너지는 매우 작아 무시할 수 있다고 생각합니다. 따라서 위의 회로에서는 저항에게 에너지가 전달되는 것만 생각하면 됩니다.

 

에너지의 관점에서 생각하면, 임의의 전하량 $Q$ 가 배터리를 a에서 b방향으로 통과하면서, 전하가 가지는 퍼텐셜 에너지가 증가합니다. 그 양은 $Q \Delta V$ 입니다. 그런데, 이런 과정 중에서 배터리는 화학 퍼텐셜 에너지를 $Q \Delta V$ 만큼 잃어버립니다. 따라서 회로 전체를 계로 생각한다면, 계의 총 에너지는 보존됩니다. 어쨌든, a에서 b방향으로 전하들이 통과하면서 전기 퍼텐셜 에너지가 증가했고, 전하들은 c에서 d방향으로 이동하면서 저항을 지나갑니다.

 

전하들은 저항을 지나면서 수많은 장애물들과 충돌합니다. 이전 글에서, 물질 내의 저항이 무엇때문에 일어나는가에 대한 이야기를 했는데, 물질이 저항을 가지는 이유는 전하들이 물질 속을 지나가면서 물질을 이루는 원자들과 부딪히며 운동 에너지를 잃어버리기 때문입니다. 이런 과정 속에서, 전하들이 가지고 있던 퍼텐셜 에너지가, 저항을 이루는 원자들의 떨림 운동 에너지로 전달됩니다. 그리고 d지점을 지나 a지점을 지나게 되면, 처음에 출발한 전하들의 에너지는 줄었을 거예요. 즉 배터리가 처음 가지고 있던 화학 퍼텐셜 에너지의 일부가 저항으로 전달된 것이죠! 이런 과정이 바로 회로에서 에너지가 전달되는 과정입니다.

 

이번에는 이 과정을 식으로 분석해봅시다. 이번에는 저항을 계로 생각하여 식을 세워봅시다.

저항을 이루는 원자들의 떨림 운동 에너지가 증가했다는 말은, 다르게 말하면 내부 에너지가 증가했다는 것과 같습니다. 저항의 내부 에너지가 증가한 양을 $\Delta E_{\mathrm{int}}$ 이라고 하겠습니다.

(무한한 시간동안 전류가 흐르는 상황이 아니에요. 회로에 스위치가 있는데, 임의의 (유한한)시간 동안만 스위치를 연결해놓았다가 해제 한 상황에서 연결되어 있었던 동안의 에너지를 생각하는 중입니다.)

$$ \Delta E_{\mathrm{int}} = Q + T_{\mathrm{ET}} + T_{\mathrm{ER}} $$

과 같이 식을 세울 수 있습니다. 배터리에서 에너지가 전달된 양을 ET (Energy transmission) 라고 적었고, 저항이 밖으로 복사하는 (열) 에너지를 ER (Energy radiation) 이라고 적었습니다. 그리고 $Q$ 는 저항이 공기와 닿아있으므로, 그 공기로 열에너지를 전도하는 것을 말합니다.

 

만약 저항이 완벽한 열평형 상태에서 온도를 유지하고 있다면, 저항 자체의 온도가 올라가지 않으므로 내부 에너지의 증가가 없어서 $\Delta E_{\mathrm{int}}$는 0입니다. 그런데 열평형 상태에 있다는 건 저항이 배터리로부터 받은 에너지가 저항의 온도를 높이는 데 쓰이는 게 아니라, 저항을 통해 공기를 데우는 데 사용되고 있다는 뜻이므로, 저항이 공기에게 전도하는 열에너지 $Q$ 는 0이 아닙니다. 따라서 위의 식에서 좌변만 0이므로,

$$ 0 = Q + T_{\mathrm{ET}} + T_{\mathrm{ER}} $$

이 됩니다.

 

이번에는 회로 전체를 계로 생각해봅시다. 에너지 보존 식을 세우기 위해서, 저항과 배터리를 고려해주면 됩니다.

$$ \Delta U_{c} + \Delta E_{\mathrm{int}} = Q + T_{\mathrm{ER}} $$

$\Delta U_{c}$ 는 배터리의 화학 퍼텐셜 에너지가 감소한 양을 의미합니다.

좌변은 회로라는 계의 총 에너지 변화량(손실량)이고, 우변은 회로라는 계를 벗어난 에너지입니다. 회로라는 계 전체의 에너지가 손실되어서, 계 밖으로 열과 복사(ER) 에너지로 빠져나갔다는 의미의 식입니다.

 

마찬가지로, 저항이 열평형 상태라면, $\Delta E_{\mathrm{int}}$ 는 0입니다. 따라서 위의 식은 최종적으로, 저항이 열평형 상태에 도달해있을 때 지속적으로 배터리에서 소모되는 에너지의 양이 얼만큼인지를 나타내줍니다.

 

이번에는 전하량 $Q$ 가 저항을 지나면서, 얼마만큼의 전기 퍼텐셜 에너지가 감소하는지 그 비율을 계산해 봅시다. 전기 퍼텐셜 에너지 $U_{\mathrm{E}}$ 는 총 전하량과 전기 퍼텐셜의 곱이므로 $Q \Delta V$ 로 표현할 수 있습니다. 따라서 이것의 시간 변화율(비율)은

$$ \frac{d U_{\mathrm{E}}}{dt} = \frac{d}{dt} (Q \Delta V ) = \frac{dQ}{dt} \delta V = I \Delta V $$

가 됩니다. 전하가 회로를 한 바퀴 돌아 배터리를 통과하면서 비용(배터리의 화학 퍼텐셜 에너지)을 지불하고, 전하들의 퍼텐셜 에너지를 얻는 것이죠.

* 여기서, 전류가 흐를 때에는 전하 덩어리가 회로를 경주 하듯이 도는 건 아니고, 회로 전체에 퍼져있는 전하 모두가 동시에 이동한다는 것으로 생각해야 합니다. 회로의 어느 곳을 측정하더라도 측정한 곳에 흐르는 전류의 양은 동일합니다.

 

위에서 계산한 에너지의 시간당 변화율이 바로, 전기적 *일률* 입니다. 전기적 일률을 전력이라고 표현합니다. 전력은 $P$ 로 표현하며, 다음과 같이 정리됩니다.

$$ P = I \Delta V $$

전기 에너지가 시간에 따라 얼마나 전달되느냐 그 양을 의미하는 것이죠. (배터리에 비용을 지불한 만큼이니까)

일률 식을 구할 때에 우리는 배터리가 저항에 전달하는 에너지 개념으로부터 출발하였습니다. 그런데, 꼭 저항이 아니더라도, 전류가 $I$ 만큼 임의의 소자에 흐르고 있고, 그 소자의 양단에 걸린 전위차가 $\Delta V$ 일 때, 옴의 법칙 $\Delta V = IR$ 을 만족하므로 ($R$ 은 그 소자의 저항) 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.

$$ P = I^2 R = \frac{(\Delta V)^2}{R} $$

특히나 $ I^2 R $ 식은 어떤 소자에서 소모되는 전력을 계산하는 데 유용하게 사용됩니다.

 

다음 글에서는 송전선에서 전류를 왜 고압(높은 전압)으로 송전하는 지, ... 이것저것에 대해 이야기 해보겠습니다.