동축 케이블의 반지름 방향 저항

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안녕하세요, 설군입니다.

동축 케이블은 중심이 같고 여러 겹으로 되어있는 도선을 말하는데, 이번 글에서 살펴볼 동축 케이블은 다음 그림과 같이 안쪽 도체와 바깥쪽 도체로 구별되어 있습니다.

두 도체 사이는 폴리에틸렌 플라스틱으로 채워져 있습니다. 도선에 전류가 흐를때에는 긴 방향으로 전류가 흐르겠지만, 반지름 방향으로 흐르는 전류도 있습니다. 이 전류는 새어나가는 전류라고 칭합니다. 반지름 방향으로 전류가 흐른다는 말은, 다음 그림과 같이 동축 케이블의 단면을 보았을 때, 내부 도체에서 외부 도체 방향(파란색 화살표)으로 전류가 흐른다는 말입니다.

그렇다면 반지름 방향 저항이라는 개념은 어떻게 생각해야 할까요? 저항은 다음과 같이 정의됩니다.

$$ R = \rho \frac{l}{A} $$

만약 반지름 방향의 아주 짧은 길이 $dr$ 만큼의 거리에 대한 저항 $dR$ 을 생각해본다면,

$$ dR = \rho \frac{dr}{A} $$

이 됩니다. 그런데 여기서 면적 $A$ 는 도선의 단면적이 아니라, 전류가 흐르는 방향에 대한 면적이므로, 도선을 원통이라고 생각한다면 원통의 옆면 넓이을 말합니다. 우리가 구하고자 하는 지점이 도선의 중심으로부터 $r$ 거리 떨어진 곳이라면, 그곳에서의 원통의 옆면 넓이는 $2\pi r L$ 이 됩니다. 따라서

$$ dR = \frac{\rho}{2 \pi r L} dr $$

이 됩니다.

내부 도체의 표면으로부터, 외부 도체의 표면까지 반지름을 적분해주면 되므로,

$$ R = \int dR = \frac{\rho}{2 \pi L} \int_a^b \frac{dr}{r} = \frac{\rho}{2\pi L} \ln \left( \frac{b}{a} \right) $$

이 됩니다.

구한 식에 의하면, $ \ln (b/a) $ 값이 커질 수록 반지름 방향 저항이 커진다는 것을 알 수 있습니다.

 

만약 동축 케이블의 두께를 늘려야 하는데, 두 가지를 생각해봅시다. 하나는 $b/a$를 유지시키며 두께를 늘리는 방법이고, 다른 하나는 $(b-a)$를 유지시키며 두께를 늘리는 방법입니다.

쉽게 말해서 $(b-a)$ 를 유지하는 경우는, 폴리에틸렌 플라스틱의 두께를 유지하는 것이네요.

우리가 구한 식에 따르면, 비율을 유지하는 경우에는 반지름 방향 저항에 변화가 없습니다. 그러나 차이값을 유지하는 경우에는 어떤지 식만 봐서는 알기가 힘듭니다. 그런데 그림을 잘 살펴보면, 차이값을 유지하는 경우에는 내부 도체의 옆면 면적이 엄청 커집니다. 따라서 저항은 기본적으로 전류가 흐르는 면적이 넓을 때, 저항값이 작아지기 때문에. 이 경우가 더 저항이 작게 됩니다.