전기장 속의 전기 쌍극자

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안녕하세요, 설군입니다.

전자기학에서 가장 먼저 배우는 건 점전하인데, 점전하 두 개를 묶어서 생각하는 경우가 있습니다. 쌍극자 라는 것인데,

정확히는 전기 쌍극자(Electric dipole)라고 합니다. 전기 쌍극자는 양전하와 음전하가 같이 거리를 두고 떨어져 있는 경우를 말하는데, 위의 그림과 같이 두 전하 사이 떨어진 거리를 $2a$라고 하고 전기 쌍극자를 정의할 수 있습니다.
전기 쌍극자 라는 물리량은 $\vec{p}$라고 쓰는데, 벡터입니다. 이 벡터의 방향은 음전하에서 양전하로 향하는 방향입니다.
$$ \vec{p} = q \cdot 2a \ \hat{n} $$
으로 표현할 수 있고, 방향 벡터인 $\hat{n}$은 앞서 말한 것처럼 음전하에서 양전하로 향하는 방향입니다.

이 때 다음과 같이 전기장이 오른쪽 방향으로 펼쳐져 있는 공간에 전기 쌍극자가 놓여 있는 상황을 생각해봅시다.

각각의 전하는 전기장으로부터 전기력을 받을 텐데, 전하의 부호가 다르니까 서로 반대 방향으로 힘을 받을거예요. 따라서 쌍극자 전체가 받는 알짜힘은 상쇄되어 0이므로 쌍극자는 어느 방향으로도 가속운동 하지는 않습니다. (선운동 하지 않는다.)
하지만 쌍극자의 질량 중심인 O점을 기준으로 회전하는 토크를 받게 됩니다.
토크는 다음과 같이 정의되는데,
$$ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} $$
간단하게 그림으로 먼저 생각해보면, 양전하를 시계방향으로 돌리려고 하는 토크가 생길것이고, 음전하를 시계방향으로 돌리려고 하는 토크가 생길 것이므로 토크의 방향이 같으니까,
각각의 전하가 받는 토크를 먼저 계산해준 다음 더해주면 그게 바로 쌍극자가 받는 알짜 토크입니다.
양전하가 받는 토크는
$$ \tau = r F \sin (\theta) = a q E \sin (\theta) $$
가 되므로, 이것의 두 배인
$$ \tau_{\rm{net}} = 2 a q E \sin (\theta) $$
가 됩니다. 쌍극자는 $ p = 2aq $이므로,
$$ \tau_{\rm{net}} = p E \sin (\theta) $$
로 정리할 수 있습니다. 벡터 표현으로 쓴다면,
$$ \vec{\tau} = \vec{p} \times \vec{E} $$
로 씁니다.

* 전기 쌍극자와 전기 퍼텐셜 에너지

점전하가 전기장에 놓여 있을 때 전기장으로부터 전기력을 받고, 전기 퍼텐셜 에너지 라는 것을 정의할 수 있었습니다.
퍼텐셜 에너지라는 건 항상 내가 그 물체를 움직이기 위해 보존력에 대해 거슬러서 해 준  일로 정의되는데요,
전기장에서도 어떤 전하가 전기 퍼텐셜 에너지를 가지고있다는 말은, 내가 멀리서부터 그 점전하를 끌어오는데 해준 일이 전기 퍼텐셜 에너지로 전환되어 저장된 것이라는 말입니다.
전기장의 영향을 받지 않는 안전한 곳(무한대로 먼 곳)에서부터 천천히 끌어오는 상황을 생각하는 것처럼, 전기 쌍극자에서도 비슷하게 생각하여 전기 퍼텐셜 에너지를 정의합니다.

전기 쌍극자는 전기장에 의해 직선 운동을 하지는 않지만 회전 운동을 합니다. 전기 쌍극자가 특정 각도를 이루면(전기장과 평형인 각도), 전기 쌍극자는 안정한 상태입니다. 이 상태에서 내가 다른 각도로 회전시키기 위해 전기 쌍극자에 토크를 가하게 된다면 힘이 들거예요. (토크가 든다는 뜻) 그 말은 내가 전기 쌍극자를 회전시키기 위해 토크를 가하여 일을 해주어야 하고, 이 일이 전기 쌍극자의 전기 퍼텐셜 에너지로 저장되게 됩니다.

위의 그림을 함께 살펴봅시다. (1)의 상황과 같이 전기장과 전기 쌍극자가 평행한 각도를 이루고 있다면, 토크가 없을거예요. 그러므로 이 상황은 안정적인 상황이라서 전기 퍼텐셜 에너지가 0인 상황입니다.
(2)의 상황이라면 전기 쌍극자는 시계방향으로 돌아가려고 하는 토크를 받을 거예요. 즉 이 상황은 전기 퍼텐셜 에너지가 0보다 커진 상황입니다. 만약 (2)의 상황이 되도록 전기 쌍극자를 내가 손으로 잡고 있다가, 손을 놓는 순간 전기 쌍극자는 시계 방향으로 회전하며 (1)의 상황으로 되돌아 가려고 할 거예요. 퍼텐셜 에너지가 높았었으니까, 낮아지는 방향으로 회전하려고 하는 것이죠.
마찬가지로 (3)의 상황에서도 동일합니다.

임의의 각도 $\theta_i, \theta_f$를 각각 전기 쌍극자와 전기장이 이루는 처음 각도, 나중 각도라고 할 때 그 때의 퍼텐셜 에너지 차이는 다음과 같이 정의됩니다.
$$ \begin{align*} U_f - U_i &= \int_{\theta_i}^{\theta_f} \tau \ d\theta \\ &= \int_{\theta_i}^{\theta_f} pE \sin(\theta) \ d\theta \\ &= pE \Bigr[ - \cos (\theta)  \Bigr]_{\theta_i}^{\theta_f} \\ &= pE \Bigr( \cos (\theta_i) - \cos (\theta_f) \Bigr) \phantom{\int_0^0} \end{align*} $$

전기 퍼텐셜 에너지가 가장 낮은 기준점을 $\theta = 0$으로 놓는다면, 임의의 각도 $\theta$에서, 전기 쌍극자가 가지는 전기 퍼텐셜 에너지는 단순히
$$ U_{\rm{E}} = - p E \cos (\theta) $$
로 놓을 수 있습니다. 이는 내적 표현으로 다음과 같이 적습니다.
$$ U_{\rm{E}} = - \vec{p} \cdot \vec{E} $$

전기 쌍극자가 전기장으로부터 받는 토크나, 전기 퍼텐셜 에너지를 예쁜 꼴로 적을 수 있기 때문에 전기 쌍극자 $\vec{p}$를 벡터 물리량으로 정의하는 것이 좋습니다.