물리 1에서 위치, 속도, 가속도 -> 시간 그래프를 분석하는 방법

안녕하세요, 설군입니다.

 

고등학생 시절 물리학을 공부하면서, 그래프 그릴 시간에 수식으로 문제 풀겠다고 생각했는데.

그래프를 먼저 그리고 나서 시작해야, 수식을 적기도 편하고, 때로는 그래프 만으로도 문제를 쉽게 풀 수 있기도 합니다.

 

물리학에서 가장 처음 공부하는 물체의 위치, 속도, 가속도 단원에서 보면,

$y$ 축 - $x$ 축이 위치-시간 또는 속도-시간 또는 가속도-시간 인 그래프가 자주 등장합니다.

 

이것들에 대해 다루어보겠습니다.

 

* 등가속도 직선 운동

먼저 등가속도 직선 운동이 무엇인지를 알아야 합니다.

가속도가 일정한 직선 운동을 말합니다.

가속도가 일정하다고 하는 것은, 가속도가 0이어도 등가속도 운동이라고 할 수도 있고 (등속 직선 운동이라고 합니다.)

가속도가 물체의 속력을 증가시키는 방향이어도 등가속도 운동이라고 할 수도 있고

가속도가 물체의 속력을 감소시키는 방향이어도 등가속도 운동이라고 할 수도 있습니다.

처음에 물체가 정지해있었을 수도 있고, 처음에 물체가 원래 운동 하고 있었을 수도 있습니다.

 

가속도가 0이 아닌 경우에의 운동을 나누어보면 다음과 같이 구별할 수 있습니다.

 

1) $ v_0 = 0 $: 처음 속력이 0인 등가속도 운동 

1-1) $ v_0 = 0 $ 이고 $ a > 0 $: 앞으로만 점점 속력이 빨라지면서 앞으로만 운동하는 경우 

1-2) $ v_0 = 0 $ 이고 $ a < 0 $: 뒤로만 점점 속력이 빨라지면서 뒤로만 운동하는 경우 (이건 그냥 뒷 방향으로 앞 방향이라고 다시 설정하면 되므로, 앞으로만 점점 속력이 빨라지면서 앞으로만 운동하는 경우랑 같은 상황입니다.)

 

2) $ v_0 > 0 $: 물체가 처음에 임의의 속력으로 앞으로 달리고 있던 경우

2-1) $v _0 > 0 $ 이고 $ a > 0 $: 앞으로 달리고 있으면서 앞으로 속력이 점점 빨라지는 등가속도 운동

2-2) $ v_0 > 0 $ 이고 $ a < 0 $: 앞으로 달리고 있었지만, 속력이 점점 감소하는 등가속도 운동 ... 이 경우는 결국에 감소하다가 정지한 후, 점점점 후진하다가 후진 방향으로 속력이 증가하게 됩니다.

 

기본적인 $v_0 > 0$ 이고 $a>0$ 인 상황에 대해 위치-시간, 속도-시간, 가속도-시간 그래프를 그려봅시다.

혼동하면 안되는 게, 위치-시간 그래프랑, 이동거리-시간 그래프 이 두개는 다른겁니다.

또한 속력-시간 그래프랑, 속도-시간 그래프도 다른겁니다.

 

문제에서 $y$ 축을 꼭 잘 봐야 합니다. 문자로만 쓰여 있어도 설명을 꼭 읽어보아야 합니다.

$v_0 > 0$ 이고 $a>0$ 인 상황에서의 각각 위치-시간 그래프, 속도-시간 그래프, 가속도-시간 그래프를 그려보았습니다.

 

가장 간단해보이는 가속도-시간 그래프를 잘 살펴보면, 시간에 따라 가속도 $a$ 가 일정합니다. 부호도 일정하고 크기도 변하지 않습니다. 즉, 물체의 가속도가 항상 일정한 등가속도 운동이라는 의미입니다.

 

다음으로, 속도-시간 그래프를 잘 살펴보면, 처음 $t=0$ 일 때 $y$ 축에 직선 그래프가 닿아있습니다. 즉 $t=0$ 일 때 속도 라는 물리량이 어떤 값을 가진다는 의미입니다. 즉, 시간이 0 초일때 처음에 물체가 속도가 있었다는 뜻입니다. 그래서 이 경우는 초기속도가 임의의 값으로 주어진 경우입니다.

그리고 그 속도가 시간에 따라 일정하게 직선 형태로 증가합니다. *일정하게* 증가 한다는 의미가, 등가속도 운동의 의미입니다. 만약 0 초 일때 속도가 10 이었고, 1 초가 지났을 때 속도가 10 만큼 증가했다면 그 때의 속도는 20 입니다.

0 초일 때 속도가 10 이었고, 2 초가 지났을 때 속도가 20 만큼 증가했을 것이고. 그 때의 속도는 30 입니다.

...

이렇게 일정한 분량만큼 증가하는 것이 등가속도 운동입니다.

위치-시간 그래프는 이차 곡선의 형태를 가집니다. 이차 곡선이라는 건 $y=x^2$ 형태의 것을 말합니다.

$x$ 값이 0 에서 1 로 증가했다면, $y$ 값은 0 에서 1 로 증가합니다.

$x$ 값이 0 에서 2 로 증가했다면, $y$ 값은 0 에서 4 로 증가합니다.

$x$ 값이 0 에서 3 으로 증가했다면, $y$ 값은 0 에서 9 로 증가합니다.

 

$y$ 값의 변화는 1 → 4 → 9 ... 이런 식으로 증가하게 됩니다. 위치-시간 그래프에서 $y$ 값은 위치를 말하는데, 위치는 시간에 따라 일정하게 증가하는 게 아니라는 뜻입니다. 그러므로 그래프가 직선이 아니라 곡선 형태로 주어집니다.

 

미적분을 공부 하셨다면, 쉽게 이해하실 수 있는데 위치-시간 그래프, 속도-시간 그래프, 가속도-시간 그래프는 서로 미분 적분 관계에 있습니다.

위치-시간 그래프를 미분하면 속도-시간 그래프, 속도-시간 그래프를 미분하면 가속도-시간 그래프이고

반대로

가속도-시간 그래프를 적분하면 속도-시간 그래프, 속도-시간 그래프를 적분하면 위치-시간 그래프가 됩니다.

 

위치-시간 그래프에서, 그래프의 접선의 기울기는 그 순간의 속도(순간 속도)를 의미합니다.

속도-시간 그래프에서, 그래프의 기울기는 그 순간의 가속도를 의미합니다. (속도-시간 그래프의 기울기는 직선의 기울기이므로 기울기가 일정합니다. 즉 등가속도 운동에서는 속도-시간 그래프의 직선의 기울기가 일정하므로, 가속도가 일정하다는 말입니다.)

 

속도-시간 그래프의 기울기가 양수이면 가속도도 양수이고 (즉 운동 방향과 가속도의 방향이 같고. 속력이 증가하는 경우입니다.)

속도-시간 그래프의 기울기가 음수이면 가속도도 음수입니다. (즉 운동 방향과 가속도의 방향이 반대입니다. 속력이 줄어드는 경우입니다.)

 

앞서 말했듯이 적분 관계를 따져보면,

속도-시간 그래프에서, 그래프와 $x$ 축이 이루는 면적은 변위를 뜻하는데,

예를들어 0 초부터 $t$ 초까지의 넓이를 계산한다면, $t$ 초 일 때의 변위를 의미합니다.

0 초일 때 물체의 위치가 0 의 위치였다면, $t$ 초일 때의 변위는 $t$ 초일 때의 위치와 같습니다.

 

다음과 같이 속도-시간 그래프가 있고, 물체의 처음 속도가 양수가 아니라 음수로 주어진 경우가 있습니다.

 

그래프를 잘 쳐다보면, 물체는 처음에 후진을 하고 있다는 의미입니다. 그리고

속도-시간 그래프의 직선의 기울기가 양수이므로, 물체의 가속도도 양수입니다.

물체는 처음에 후진을 하고 있었지만, 앞으로 가속을 하고 있으므로 후진 방향 속력은 점점점 줄다가... 0이 된 다음 다시 전진을 하게 되며... 전진 방향 속력이 점점점 증가하는 운동이 될 것입니다.

 

속도-시간 그래프에서 넓이가 변위와 관련 있는데, 넓이는 양의 넓이와 음의 넓이로 구분지을 수 있습니다.

 

위의 그래프에서 검정색으로 칠한 부분은 음의 넓이라고 합시다.

음의 넓이는, 물체가 뒤로 이동한 거리이며

 

하얀색으로 칠한 부분은 양의 넓이라고 할 때,

양의 넓이는, 물체가 앞으로 이동한 거리입니다.

 

즉 음의 넓이의 크기를 $A$ 라고 하고

양의 넓이의 크기를 $B$ 라고 하였을 때

 

$-A + B$ 를 구한다면, 그건 0 초부터 그래프의 끝 지점까지의 물체의 변위를 구한 것입니다.

 

물체의 처음 위치에서 도착점까지의 거리 즉 변위는

$-A + B$ 입니다.

 

물체가 뒤로 갔다가 앞으로 가는 경우니까, 이동거리랑 변위가 다르다는 걸 알아야 합니다.

 

또다른 속도-시간 그래프를 생각해봅시다.

이런 식으로 양의 넓이만 있는 경우, 물체는 처음에 앞으로 운동하는 초기 속력을 가지고 있었고, 가속도의 부호도 양수이므로,

물체는 처음에 앞으로 운동하고 있다가 점점 속력이 빨라지는 운동입니다. 즉 처음부터 끝까지 앞으로만 운동하는 경우입니다.

이 경우는 임의의 시간까지의 넓이를 구했을 때 그 넓이를 물체의 변위라고 해도 되고, 물체의 위치 (처음 위치가 0 이었다면) 라고 해도 되고, 물체의 이동 거리라고 해도 됩니다.

 

즉 색칠한 부분의 넓이 = 변위 = 이동 거리 = 위치 (처음 위치가 0 이었다면)

가 되는 것입니다.

 

마지막으로 가속도-시간 그래프에서 면적은 속도를 의미합니다.  (보통은 자주 사용되지는 않습니다.)

 

속도-시간 그래프가 가장 좋습니다.

왜냐하면, 변위, 가속도, 속도를 모두 알 수 있기 때문입니다.

세 가지 정보를 알 수 있지요.

 

그래서 위치-시간 그래프가 나오면 속도-시간 그래프로 변환하고

가속도-시간 그래프가 나오면 속도-시간 그래프로 변환하면

쉽습니다.

이 가속도-시간 그래프는

이렇게 변환할 수 있습니다.

0-1 초동안의 기울기가 3

1-2 초동안의 기울기가 2

2-3 초동안의 기울기가 1 인 것입니다.

 

가속도가 (-)인 경우는 속도-시간 그래프에서의 기울기가 (-)인것이죠

다음을 보고 연습해봅시다

(0초일때 물체의 속도가 0이었다고 가정)

가속도-시간 그래프에서 보면

0-2 초 동안 가속도의 값이 +3 이고

2-4 초 동안 가속도의 값이 -2 입니다.

 

가속도-시간 그래프에서의 가속도의 값이

속도-시간 그래프에서의 직선의 기울기로 반영되어야 합니다.

 

따라서 속도-시간 그래프로 바꿀때에는

 

0-2 초 동안 그래프의 기울기는 $\frac{6}{2} = 3$ 이고 이 경우는 그래프의 기울기가 양수 여야 하므로, 증가 하는 직선 그래프가 되어야 합니다.

2-4 초 동안 그래프의 기울기는 $\frac{4}{2} = 2$ 이고 이 경우는 그래프의 기울기가 음수 여야 하므로, 감소 하는 직선 그래프가 되어야 합니다.