알짜힘이 평형 상태인 물체의 힘 분석

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안녕하세요, 설군입니다.

 

다음 그림과 같이 물체가 세 개의 끈으로 매달린 상황을 생각해봅시다.

 

이런 상황에서 물체가 평형 상태에 있다고 합시다.

물체가 평형 상태 (정지 상태) 에 있기 위해서는, 물체가 받는 모든 힘을 더하여 0이 되어야 합니다.

물체가 받는 힘만 생각해봅시다.

 

물체는 위 방향으로 수직 방향의 끈이 위로 잡아당기는 힘을 받고

또한 물체는 아래 방향으로 지구가 물체를 잡아당기는 힘인 중력을 받습니다.

물체가 받는 힘만 표시해보면 다음과 같습니다.

물체가 받는 힘은 이렇게만 표시하면 됩니다.

따라서 물체가 받는 알짜힘이 0이라는 말은,

$$T_3=Mg$$

이렇게 두 힘의 크기가 같다는 뜻이 됩니다.

 

그럼 이제 다시 그림을 쳐다봅시다. 끈 세개가 모이는 한 지점이 있는데, 그 지점은 $T_1$, $T_2$, $T_3$ 이렇게 세 장력을 받으면서 멈추어있습니다. 끈 셋이 모이는 그 지점 또한 물체라고 생각하고, 그 물체가 받는 알짜힘을 모조리 표시해봅시다.

이렇게 표시할 수 있습니다. 따라서 이 세 힘들을 모두 벡터 덧셈 하였을 때, 그 결과 0이 되어야만 이 지점이 받는 알짜힘이 0이 됩니다.

우리는 이 지점에 대해서, 가로 방향 세로 방향을 각각 $x$ 축, $y$ 축으로 생각하고 세 힘들을 벡터 분해 할 것입니다.

$T_3$ 라는 힘은 이미 $y$ 방향 성분밖에 없으므로 분해할 필요는 없고,

$T_1$, $T_2$ 라는 힘들은 각각 $x$ 축과 특정 각도를 이룬 채 작용하고 있는 힘이므로, 삼각비를 이용해서 분해해주어야 합니다.

그럼 $T_1$, $T_2$ 는 각각 $x$, $y$ 성분으로 표시할 수 있습니다.

이 지점이 받는 알짜힘이 0이기 위해서는,

$x$ 성분으로만 생각했을 때에도 이 지점이 받는 알짜힘이 0이어야 하고,

$y$ 성분으로만 생각했을 때에도 이 지점이 받는 알짜힘이 0이어야 합니다.

 

그래서 각각 분해한 성분끼리 알짜힘이 0이 되도록 수식을 적어주면 다음과 같은 관계를 얻을 수 있습니다.

이렇게 얻어낸 식에서, 특히 장력 $T_3$ 는 앞서 물체의 무게인 $Mg$ 와 같다는 관계식을 얻었으므로 이들을 활용하여 장력과 물체의 무게의 관계식으로 변환할 수도 있습니다.

 

(1) 힘의 평형 상태에서, 어떤 지점을 기준으로 그 지점이 받는 알짜힘들을 그림으로 그려보고,

(2) 문제에 적용하기 편한 좌표축을 설정하여 그 좌표에 대해 $x$, $y$ 성분으로 힘을 분해한 후 다시 그림으로 그려보고,

(3) 그리고 각각의 축에 대해 알짜힘의 평형 식을 써주면 쉽게 분석할 수 있습니다.