미분 방정식의 기본, 정의, 용어, 개념 정리

 

 

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안녕하세요, 설군입니다.

 

 

Dennis G. Zill 의 A first course in differential equations with modeling applications, 10th 교과서를 많이 참고하였습니다.

한글 제목으로는 '미분방정식 입문' 이라는 교과서입니다.

 

이 글을 읽고 미분 방정식의 기초를 이해하는 데 조금이라도 도움이 되었으면 좋겠네요.

 

미분 방정식이란?

미분 방정식은 방정식입니다. 그런데 도함수를 포함하는 방정식입니다. 도함수라는 건 그냥 우리가 흔히 아는 $y'$ 이런 것들을 말합니다. 어떤 함수를 어떤 변수로 미분한 걸 말하죠.

도함수가 몇 차냐, 즉 몇 번 미분했는지에 상관 없이 그런 도함수가 들어가있는 방정식을 미분 방정식이라고 합니다.

도함수가 포함되지 않은 - 그냥 방정식을 푼다는 것은, 위의 경우와 같이 방정식에서 해를 구하는 것을 말합니다.

똑같이, 미분 방정식을 푼다는 것도 미분 방정식에서 해를 구하는 것을 말합니다.

미분 방정식을 표현할 때에는

$$y^{″}+2y^{\prime }+y=0$$

이런 식으로 표현합니다.

위에서 이야기했던 것처럼 $y'$ 이나 $y''$ 와 같은 도함수가 들어있는 방정식이므로 위의 방정식은 미분 방정식입니다. 이 미분 방정식을 푼다는 것은 $y$ 를 구한다는 것입니다. 우리가 잘 알듯, $y'$ 은 $y$ 라는 함수를 $x$ 라는 변수로 한 번 미분했다는 뜻이고, $y''$ 은 두 번 미분했다는 뜻입니다.

 

특히나 미분 방정식 교과서에서 배우는 궁극적인 것은, 미분 방정식을 푸는 방법입니다.

미분 방정식에는 다양한 모양이 있는데 그 모양에 따라 어떻게 그 미분 방정식을 풀어야 할지 전략이 달라지게 됩니다.

 

상미분 방정식 (미분 방정식의 종류 중 하나) (Ordinary differential equation, ODE)

위와 같은 예시들은 상미분 방정식의 예시입니다.

첫 번째 상미분 방정식의 경우에는 함수가 $y$ 로 표현된 것이고, 그 함수의 변수인 독립변수가 $x$ 로 표현되었습니다. 

두 번째 상미분 방정식의 경우에는 함수가 $y$ 로 표현된 것이고, 그 함수의 변수인 독립변수가 $x$ 로 표현되었습니다.

세 번째 상미분 방정식의 경우에는 함수가 $x$ 와 $y$ 로 표현된 것이고, 그 함수들의 변수인 독립변수가 $t$ 로 표현되었습니다.

독립변수가 하나인 경우에는 상미분 방정식입니다. 즉 변수 하나에 대해서만 함수를 미분하는 상황인 것입니다.

$f(x, y)$ 라는 함수가 있을 때, 이 함수를 $x$ 로도 미분하고 $y$ 로도 미분한 도함수들이 들어있는 방정식이면 상미분 방정식에 해당되지 않겠죠?

 

편미분 방정식 - Partial differential equation, PDE

위와 같은 예시는 편미분 방정식입니다. 앞서 말한 것처럼 $x$ 로도 미분하고, $y$ 로도 미분하는 도함수가 동시에 들어있는 미분 방정식이므로 상미분 방정식이 아닙니다. 편미분 방정식입니다. 그리고 편미분에서는 $d$ 라는 기호로 미분을 표현하지 않고, $\partial$ 라는 기호로 미분을 표현하게 됩니다.

 

미분의 기호는 $y'$, $y''$ 이런 식으로 표현하기도 하고, $\frac{dy}{dx}$ 이런 식으로 표현하기도 합니다. 프라임 기호를 이용하여 표현할 때에 미분 횟수가 많아지게 되면 다음과 같이 표현합니다.

괄호를 이용하여 윗첨자로 적게됩니다. 혹은 $d$ 기호를 이용하면,

$$\frac{d^{5}y}{d{x}^5}$$

이런 식으로도 표현합니다.

 

그리고 물리학에서는, 시간을 변수로 하는 함수 $x(t)$ 와 같은 함수들을 다루게 되는데, 이런 함수들을 시간에 대해 미분하는 경우가 있습니다. 이런 경우는 프라임 기호 말고, 함수 위에 점을 찍어 다음과 같이 $\ddot{x}$ 로 표현하게 됩니다. 시간에 대한 미분을 이렇게 나타냅니다.

위의 예시의 경우에는 시간에 대해서 두 번 미분했다는 뜻이 됩니다.

 

a계 b차 미분 방정식

미분 방정식의 꼴을 보고 이름을 붙일 때, 몇계 몇차 미분 방정식이라고 이름붙입니다. 위의 예시를 보면 알 수 있듯이, 최고계 도함수의 계수는 몇 번 미분했는지 그 미분 횟수가 가장 많은 도함수의 횟수를 말합니다.

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+5(\frac{dy}{dx}{)}^3-4y=e^x$$

라는 주어진 미분 방정식에서, 가장 미분 횟수가 많은 도함수는 첫 번째 항이고 그 미분 횟수는 2이므로, '2계' 라고 정해집니다.

그리고 그 첫번째 항이 괄호치고 몇 승이냐가 '1차' 를 결정합니다. (1승 이니까)

그래서 위의 미분 방정식은 2계 1차 미분 방정식입니다.

 

위의 예시와 같이 제곱근으로 주어진 미분 방정식의 경우에는 그걸 풀어준 뒤에, 풀어준 걸 가지고 판단하여 이름붙입니다. 위의 경우는 최고계 도함수의 계수가 2계 (2번 미분 한게 최고니까), 그리고 그것이 괄호 치고 6승 이므로 6차 입니다.

미분 방정식은 모양이 다르지만 결국 같은 미분 방정식인 경우가 있습니다. 

$$(y-x)dx+4xdy=0$$

$$4x{y}^{\prime }+y=x$$

이 두 미분 방정식은 도함수의 표현 정의에 따라서 바꾸어주면 모양은 달라지지만, 같은 미분 방정식입니다.

 

선형 미분 방정식

어떤 미분 방정식이 주어졌을 때, 그 미분 방정식을 선형 미분 방정식 이라고 부르려면 (선형 이려면) 다음 조건을 만족해야 합니다.

(1) 종속 변수 $y$ 와 모든 도함수 $y'$, $y''$, ... 의 차수가 1차이다. (1승 이다)

(2) $y'$, $y''$, ... 들의 계수는 독립변수 $x$ 에 의존한다. ($y$ 에 의존하면 안 됨)

 

위의 예시 세 가지 미분 방정식들은 선형이 아닌 미분 방정식들입니다. 왜 그런지 살펴봅시다.

첫 번째  미분 방정식은, $y''$ 의 계수가 $x$ 에 의존하는 게 아니라 $y$ 에 의존하므로 (2) 조건을 어기게 되므로 비선형 입니다.

두 번째 미분 방정식은, $\sin (y)$ 라는 함수가 있기 때문에 종속 변수 $y$ 의 차수가 1차가 아닙니다. 즉 조건 (1) 을 어기게 됩니다.

세 번째 미분 방정식도 역시, $y^2$ 때문에 종속 변수의 차수가 1차가 아니라 2차입니다. 즉 조건 (1) 을 어기게 됩니다.

 

그리고 선형 미분 방정식 (앞에서 제시되었던) 의 경우 조건을 만족하는지도 확인해봅시다. 앞서 제시되었던 미분 방정식은

$$4x{y}^{\prime }+y=x$$

입니다.

이 경우에는 $y'$ 의 차수가 1차이고, 계수는 $4x$ 이므로 계수가 독립변수에만 의존하므로 (2) 는 일단 만족합니다. 그리고 $y$ 의 계수도 1이므로 (1) 도 만족하게 됩니다. 그래서 이 미분 방정식은 선형 미분 방정식입니다.

 

$$y^{″}-2y^{\prime }+y=0$$

이런 미분방정식이 있다면, 이 미분 방정식도 선형 미분 방정식입니다.

 

미분 방정식의 해를 구했다면, 다시 미분 방정식에 대입해서 만족하는지 확인

만약 문제에서 위와 같이

$$y^{″}-2y^{\prime }+y=0$$

이라는 미분 방정식이 주어졌고, 이 해가

$$y=x{e}^x$$

일 때, 이 해가 진짜로 해인지를 확인해보기 위해서는 실제로 미분 방정식에 대입해보고 그 미분 방정식을 만족하는지를 확인해보면 됩니다.

※ 미분 방정식의 해가 되기 위해서는, 그 해는 미분 가능해야 합니다. 그래서 그 해는 연속이어야 합니다.

 

미분 방정식의 해 (일반해, 특수해)

다음과 같은 미분 방정식이 주어졌습니다.

$$x{y}^{\prime }-y=x^2\sin (x)$$

이를 풀어서, 이 미분 방정식에 넣어도 잘 만족하는 해가 나왔는데 그 해는

$$y=Cx-x\cos (x)$$

($C$ 는 값을 모르는 상수)

라고 합시다.

 

이렇게 미분 방정식을 풀어서 해를 구했을 때, 값을 모르는 상수가 붙어있는 경우도 있습니다. 이런 해를 일반해 (General solution) 라고 합니다.

이렇게 주어진 일반해에서 상수 값을 구하기 위해서는, 문제에서 추가적인 조건을 제시해주어야 합니다. 예를 들어 문제에서 $y$ 라는 함수가 특정 $x$ 값에 대해 $0$ 이라는 값을 가진다고 다음과 같이 주어졌다면,

$$y(x=\frac{\pi }{2})=0$$

이 조건을 다시 내가 구한 해에 대입해보면 상수 $C=0$ 임을 찾을 수 있습니다.

이렇게 해서 상수를 찾고 그 상수를 다시 일반해에 대입해서 얻은 해를 특수해 (Particular solution) 라고 합니다.

물리학 문제에서는 물리학적인 의미를 가지는 초기 조건들이 제시되는 미분 방정식이 자주 등장하게 됩니다. 결국 특수해를 얻게 됩니다.

 

일반적인 방정식에서, 방정식이 2차 방정식이라면 해 $x$ 는 두 개 구해야 합니다. 이런 것처럼

미분 방정식에서는 그 미분 방정식의 계수가 상수의 개수와 일치합니다.

2계 미분 방정식에서는 임의의 상수 $C$ 가 두 개 나옵니다. 그래서 그 상수의 값을 알아내기 위한 초기 조건도 두 개가 필요합니다.

특이해 (Singular solution)

위와 같은 상황도 있습니다. 위와 같이 주어진 미분 방정식을 풀어서 일반해를 구했고, 주어진 초기조건을 대입하여 특수해도 구했는데,

생각해보니 $y=0$ 이라는 해도 미분 방정식에 대입하여 풀리므로 해가 됩니다. 그런데 이 $y=0$ 이라는 해는 초기조건을 알고 일반해의 상수를 제거해도 얻을 수 있는 해가 아니라 특별한 해입니다. $C$ 에 어떤 값을 넣더라도 $y=0$ 이라는 해는 구할 수가 없습니다.

이런 해를 특이해 (Singular solution) 라고 합니다.

특히나 비선형 미분 방정식에서 특이해가 자주 나타납니다.

 

해의 선형 결합

$$x^{″}+16x=0$$

이라는 미분 방정식이 주어졌고, 이 미분 방정식을 풀어 두 개의 해를 구했습니다.

$$x_1=C_1\cos (4t)$$

$$x_2=C_2\sin (4t)$$

위에서 주어진 미분 방정식은 2계 미분 방정식이므로, 임의의 상수 $C$ 가 두 개 나왔습니다.

그런데 신기하게도 만약 두 해를 더해서 새로 써보면

$$x=C_1\cos (4t)+C_2\sin (4t)$$

이렇게 또다른 걸 만들수 있는데, 이것도 주어진 미분 방정식에 대입해보면 새로운 해가 됩니다.

이런 경우를, $x_1$ 과 $x_2$ 를 선형 결합 하였다고 합니다. 함수 1과 함수 2를 더하는데 각각의 함수 앞에 상수를 붙이고서 더한다는 뜻입니다. (이 경우는 이미 상수가 붙어 있던 것입니다.)

 

이렇게 구해진 $x = C_1 \cos (4t) + C_2 \sin (4t)$ 라는 해도, 이 해 하나만 보면 상수가 두 개입니다. 2계 미분 방정식에서 임의의 상수 두 개가 나온 셈이죠.

 

초기조건의 조건

2계 미분 방정식에서 임의의 상수가 두 개 나온다. 인 것처럼

$n$ 계 미분 방정식에서 임의의 상수의 개수가 $n$ 개 이다. 입니다.

그리고 이 때 초기조건도 $n$ 개 필요합니다.

그런데 이 때 초기조건에서, $y$ 에 대입하는 $x$ 의 값이 동일해야합니다.

$$y(x_0)=y_0$$

$$y^{\prime }(x_0)=y_1$$

$$y^{″}(x_0)=y_2$$

이런 식으로 주어져야 합니다.

 

초깃값 문제 (Initial value problem)

위에서 서술한 것과 같이, 미분 방정식과 초기 조건을 이용하여 미분 방정식을 푸는 상황을 초깃값 문제라고 부릅니다.

미분 방정식의 계수에 따라서 1계 초깃값 문제, 2계 초깃값 문제 이런 식으로 부르게 됩니다.

 

특별한 예시 - 함수의 그래프와 해의 그래프의 차이

$$y^{\prime }+2x{y}^2=0$$

이라는 미분 방정식이 주어졌습니다. 그리고 해를 하나 구했는데,

$$y=\frac{1}{x^2+C}$$

입니다.

주어진 초기조건이

$$y(0)=-1$$

이라고 하면, 특수해는

$$y=\frac{1}{x^2-1}$$

입니다.

 

구해진 특수해의 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

다시 수식을 쓰자면, 이 그래프는 다음 함수를 말합니다.

$$y=\frac{1}{x^2-1}$$

주어진 초기조건을 다시한번 잘 생각해봅시다. 초기조건의 의미는, 해가 되는 $y$ 가 어느 점을 지나는지의 의미입니다. 해가 되는 $y$ 라는 함수는 $(0, -1)$ 을 지난다는 말이 됩니다. 그런데, $(0, -1)$ 을 지나는 함수는 위의 그림에서 살펴보면 아래로 구부러진 함수만을 의미합니다. (3 사분면과 4 사분면에 존재하는 함수) 이 그래프가 정답이 되는 해의 그래프입니다.

1 사분면과 2 사분면에 존재하는 그래프는 정답이 되는 해의 그래프가 아니라는 것이죠.

 

모순적인 상수 - 초기조건의 조건에 대해 다시한 번 기억하자

$$y^{″}+4y=0$$

이라는 미분 방정식이 주어지고, 초기조건은 다음과 같이 주어졌다고 합시다.

$$y^{\prime }(x=\pi /2)=1$$

$$y^{\prime }(x=\pi )=0$$

이런 경우에, 해가

$$y=C_1\cos (2x)+C_2\cos (2x)$$

일 때, 초기 조건을 대입해서 상수를 구해보면, $C_1 = 0$ 과 $C_1 = 2$ 로 모순적인 상황이 나옵니다.

이런 경우는 해가 잘못되었다고 생각할 수 있지만, 해를 직접 넣어 미분 방정식을 풀어보면 해가 맞긴 합니다.

그러나 상수를 구할 수 없는 경우인 것이죠. 이런 경우는 해가 없는 경우입니다.

 

앞서 중요한 이야기를 하나 했는데 다시 기억해봅시다. 초기조건이 주어지려면 동일한 $x$ 값에 대해서 주어져야 합니다. 그런데 이 문제에서 주어진 초기조건은 $x$ 값이 동일하지 않은 경우입니다. 따라서 이 초기조건들을 가지고서는 해를 구할 수 없는것이 맞습니다.