미분 방정식의 기본적인 개념

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안녕하세요, 설군입니다.

 

물리학에서는 미분 방정식이 매우 많이 등장합니다. 뉴턴의 법칙 중 하나인 *가속도의 법칙* 또한 미분 방정식의 일종이고, 양자역학에서 유명한 *슈뢰딩거 방정식* 또한 미분 방정식의 일종입니다. 

대학생 때 물리학과 과목으로 개설되었던 *미분 방정식* 이라는 과목을 재미있게 공부했던 기억이 있습니다.

Dennis G. Zill 의 A first course in differential equations with modeling applications, 10th 교과서로 공부하였습니다.

(한글 제목으로는 *미분방정식 입문* 입니다.)

 

미분 방정식은 도함수를 포함하는 방정식입니다.

일계 미분이냐, 이계 미분이냐 상관 없이 포함만 되어 있으면 미분 방정식입니다.

만약 $y^{\prime }$ 을 포함한다면, 미분 방정식을 풀어서 해를 구한다는 말은 $y$ 라는 함수를 구한다는 말입니다.

 

$$x^2+5x+4=0$$

이라는 방정식을 해결한다는 말은? $x$ 값을 찾는다는 말입니다.

 

미분 방정식에서는

$$y^{″}+2y^{\prime }+y=0$$

이런 식으로 생겼는데, 뭐에 대해서 $y$ 라는 함수를 미분했는지는 모르겠지만,

$y^{″}$ 는 $y$ 라는 함수를 두 번 미분했다는 뜻이고, $y^{\prime }$ 는 한 번 미분했다는 뜻입니다.

어쨌든 계속 강조하지만, $y$ 라는 함수를 구하는 것이 바로 미분 방정식을 푸는 것입니다.

 

* 상미분 방정식 (Ordinary differential equation, ODE)

미분 방정식은 다양한 꼴이 있습니다.

$$\frac{dy}{dx}+4y=e^x$$

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-\frac{dy}{dx}+5y=0$$

$$\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=2x+2y$$

등등 다양한 꼴이 있는데, 위의 미분 방정식들은 상미분 방정식이라고 합니다.

    1. 독립 변수가 하나 (첫 번째 식의 경우에는 독립 변수가 $x$, 두 번째 식의 경우에는 독립 변수가 $x$, 세 번째 식의 경우에는 독립 변수가 $t$)

    2. 종속 변수가 하나 이상

즉, 하나에 대해서만 미분하는 것들은 다 상미분 방정식입니다.

 

* 편미분 방정식 (Partial differential equation, PDE)

편미분 방정식 이라는 것들도 있습니다.

$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$

$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

이런 것들은 미분 하는게 $x$ 에 대해서만 미분하는 게 아니라, 두 변수에 대해서 미분하죠? 이런 것들은 편미분 방정식이라고 합니다.

(슈뢰딩거 방정식은 기본적으로 편미분 방정식 입니다. 물리량을 시간에 대해 미분하기도 하고, 공간에 대해 미분하기도 합니다.)

 

도함수의 계수가 높아질 때에는

$$y^{⁗}\to y^{(4)}$$

이런 식으로 표현하거나,

$$\frac{d^{4}y}{d{x}^4}$$

이렇게 표현됩니다.

 

물리학에서는 물체의 운동을 기술하기 위해서, 물체의 위치를 시간에 대해 나타낸 함수, 물체의 속도를 시간에 대해 나타낸 함수, 물체의 가속도를 시간에 대해 나타낸 함수를 주로 다음과 같이 표현합니다.

$$x(t),v(t),a(t)$$

주로 시간에 대해 함수가 어떻게 변하는지 (물체의 위치가 시간에 대해 어떻게 변하는지) 가 관심사이므로, 보통 시간에 대해 미분합니다.

그래서 시간에 대한 미분은 함수 위에 점을 찍어 표현하곤 합니다.

$$\dot{x}(t),\dot{v}(t),\ddot{x}(t)$$

이런 식으로요. 한 번 점을 찍으면 시간에 대해 한 번 미분했다는 뜻이고, 두 번 점을 찍으면 두 번 미분했다는 뜻입니다.

 

* 미분 방정식의 명칭 (n계 m차 미분 방정식)

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+5{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^3-4y=e^x$$

이와 같은 미분 방정식은, 2계 1차 미분 방정식이라고 합니다. 최고계 도함수 (식에서 가장 많은 미분이 있는 항) 의 계수가 가장 첫번째 항이므로 2계 라는 이름이 붙고, 1차 라는건 그 최고계 도함수가 몇제곱이냐의 의미입니다. 첫번째 항이 최고계 도함수인데 제곱이 없으므로 그냥 1차 입니다. 그래서 2계 1차 미분 방정식 이라고 합니다.

 

$${\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^3=\sqrt{1+\frac{dy}{dx}}$$

이 경우는, 최고계 도함수가 2계 미분이므로 2계고,

그게 세제곱 이므로 3차. 즉 2계 3차 미분 방정식...

이 아닙니다!

 

제곱근을 풀어줘서 봐줘야 합니다.

$${\left(\frac{d^{2}y}{d{x}^2}\right)}^6=1+\frac{dy}{dx}$$

이렇게 보면, 2계 6차 미분 방정식 입니다.

 

미분 방정식은 식을 어떻게 정리하느냐에 따라서, 모양은 달라 보이지만 같은 미분 방정식인 경우가 있습니다.

$$(y-x)dx+4xdy=0$$

이렇게 쓰여진 식이 있다면,

$$\frac{dy}{dx}=y^{\prime }$$

으로 치환해서 정리하면,

$$(y-x)+4x{y}^{\prime }=0$$

혹은

$$4x{y}^{\prime }+y=x$$

이런 식으로 변형될 수도 있습니다.

 

* 선형 미분 방정식

미분 방정식이 주어졌을 때, 그 미분 방정식이 선형이라고 하려면, 다음 조건을 만족해야 합니다.

    1. 종속 변수 $y$ 와 모든 도함수 $y^{\prime },y^{″},y^{‴},...$ 의 차수가 1차이다.

    2. $y^{\prime },y^{″},y^{‴},...$ 의 계수는 독립변수 $x$ 에만 의존해야 한다.

 

예를 들어, 위에 주어진 미분 방정식

$$4x{y}^{\prime }+y=x$$

의 경우에는, 종속 변수와 도함수 의 차수가 1차이고, $y,y^{\prime },y^{‴},...$ 에 붙은 계수가 $x$ 에 대한 식밖에 없으므로

선형 미분 방정식이 맞습니다.

 

$$y^{″}-2y^{\prime }+y=0$$

이라는 미분 방정식이라면, 이것도 선형 미분 방정식입니다.

 

$$(1-y)y^{″}+2y=0$$

이건 선형 미분 방정식이 아닙니다. 첫 번째 항에서의 계수가 $y$ 에 대한 식이니까요.

 

$$y^{″}+\sin (y)=0$$

이 때에는, 두 번째 항에서 $y$ 의 차수가 1차가 아니라서 비선형 미분 방정식입니다.

 

$$y^{(4)}+y^2=0$$

이 경우에는, $y$ 의 차수가 2 이므로 비선형입니다.

 

* 미분 방정식의 해

미분 방정식의 해를 찾았다고 합시다. 즉 $y$ 를 찾은 것이죠. 이 $y$ 를 원래의 미분 방정식에 넣으면 당연히 방정식을 만족해야 합니다.

$$y^{″}-2y^{\prime }+y=0$$

이라는 미분 방정식에서,

$$y=x{e}^x$$

는 해인지 살펴봅시다. $x$ 에 대해 한 번 미분한 결과도 대입해야 되고, 두 번 미분한 결과도 대입해야 합니다.

$$y^{\prime }=e^x+x{e}^x$$

$$y^{″}=e^x+e^x+x{e}^x$$

이므로, 대입해주면?

$$y^{″}-2y^{\prime }+y=2e^x+x{e}^x-2(e^x+x{e}^x)+x{e}^x$$

정리해주면 이 결과는 $0$ 이 되므로, 원래의 미분 방정식을 만족하는 것을 알 수 있습니다.

미분 방정식의 해는, 미분 가능합니다. 그러므로 연속이어야 합니다.

 

* 일반해 (General solution) 와 특수해 (Particular solution)

미분 방정식의 해를 구했을 때에는, 몇 가지 경우로 나뉩니다.

일반해의 경우, 해를 구하고 나서 상수가 $C$ 로 남아있는 상황입니다. 특수해는, 해를 구했는데 상수가 남아있지 않은 상황을 말합니다.

$$x{y}^{\prime }-y=x^2\sin (x)$$

라는 미분 방정식을 풀어서, $y=Cx-x\cos (x)$ 라는 해가 나왔습니다. 이 해는 상수가 있으므로 일반해 입니다.

미분 방정식의 일반해의 상수를 찾아주기 위해서는 초기조건 이라는 게 필요한데,

미분 방정식이

$$y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$$

이라는 조건을 만족한다고 합시다. 그렇다면 상수 $C$ 를 찾아줄 수가 있어요.

$$y=-x\cos (x)$$

그렇게 구한 위의 해는 특수해 라고 합니다.

 

물리학 문제에서는 초기조건을 주는 경우가 많습니다. 가령 물체의 위치가 시간이 0일 때에는, 원점에 있었다거나. 물체의 속도가 시간이 0일 때에는 0 이라거나...

 

미분 방정식에서 도함수의 계수와 상수의 개수가 일치한다는 사실을 알아두면 좋습니다.

2계 미분 방정식이면, 일반해에서 임의의 상수가 두 개가 나옵니다.

그리고 그 상수 두 개를 찾기 위해서는 초기조건도 두 개가 필요합니다.

 

* 특이해 (Singular solution)

$$\frac{dy}{dx}=x{y}^{\frac{1}{2}}$$

이런 미분 방정식이 있고, 일반해가

$$y={(\frac{1}{2}{x}^2+C)}^2$$

초기조건이 $y(x=0)=0$ 일 때의 특수해가

$$y=\frac{1}{16}{x}^4$$

이라고 합니다.

그런데 신기하게도, 그냥 $y=0$ 을 대입해도 미분 방정식을 만족합니다. 이런 $y=0$ 과 같은 해를 *특이해* 라고 합니다.

일반해의 상수에 어떤 값을 넣더라도 이 해는 나올수가 없습니다.

이런 특이해는 비선형 미분 방정식에서 자주 나타납니다.

 

* 특수해와 임의의 상수

$$x^{″}+16x=0$$

어떤 미분 방정식을 풀었는데, 만족하는 두 개의 해가 나왔다고 합니다.

$$x_1=C_1\cos (4t)$$

$$x_2=C_2\sin (4t)$$

이 경우는 2계 미분 방정식이므로, 임의의 상수가 두 개 나와야 하는데, 해가 두 개이고 상수가 각각 하나씩 나오긴 했네요.

그런데 신기하게도 이 두 해 $x_1,x_2$ 를 선형 결합 (그냥 더한다) 해주면?

$$x=C_1\cos (4t)+C_2\sin (4t)$$

로 적을 수 있는데, 이것도 해입니다. 이 경우도 임의의 상수가 두 개인 해를 찾았다고 볼 수 있죠.

 

* 초기조건의 조건

$$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}=f(x,y,y^{\prime },y^{″},...,y^{(n-1)})$$

의 특수해를 구하기 위해서는 초기조건이 $n$ 개 필요합니다.

그런데, 그 초기조건의 조건이 있습니다. 대입하는 $x$ 값이 다음과 같이 동일해야 합니다.

$$y(x_0)=y_0$$

$$y^{\prime }(x_0)=y_1$$

$$y^{″}(x_0)=y_2$$

...

이런 식으로 동일해야 합니다.

 

* 초기값 문제 (Initial value problem)와 함수의 그래프, 해의 그래프

초기조건이 주어진 미분 방정식의 해를 구하는 것을 초기값 문제라고 합니다. (초깃값?)

1계 초기값 문제, 2계 초기값 문제... 이런식으로 부릅니다.

$$y^{\prime }+2x{y}^2=0$$

이라는 미분 방정식의 일반해가

$$y=\frac{1}{x^2+C}$$

이고, 초기조건이 $y(x=0)=-1$ 일 때 특수해가

$$y=\frac{1}{x^2-1}$$

이라고 합니다. 이 특수해의 그래프를 그려보면

이렇게 그려지는데, 초기조건을 만족하는 부분을 들여다봅시다. $x=0$ 일 때는 $y=-1$ 입니다. 내가 그린 그래프가 초기조건을 잘 만족하네요. 그런데

요 부분은 함수의 그래프이긴 하지만, 초기조건과이 만족되지 않는 부분의 그래프이므로, 단지 함수의 그래프일 뿐, 해의 그래프가 아닙니다.

해의 그래프는

이 부분입니다.

 

* 초기조건의 낚시

$$y^{″}+4y=0$$

$$y=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)$$

위와 같이 미분 방정식이 주어졌고, 일반해가 주어진 상황입니다. 초기조건이

$$y^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=1,y^{\prime }(\pi )=0$$

이라고 주어졌다고 합시다. 이 초기조건을 대입해서 상수를 찾아보면,

$$C_1=0,C_2=2$$

이렇게 나옵니다... 어라... 상수 하나가 필요가 없네요. 마치 모순인 것 같습니다.

하지만 낚이면 안 됩니다. 초기조건을 대입하기 위해서는 동일한 $x$ 값일 때의 초기조건이 주어져야 합니다.

그러므로 주어진 것 만으로는 이 미분 방정식의 해를 구할 수가 없습니다.