일은 무엇인가?

안녕하세요, 설군입니다.

오늘은 '일(Work)'에 대해 설명해보려고 합니다.

일은 흔히 W로 나타내고, W=Fs (F:힘, s:이동거리)라는 공식으로도 많이 쓰입니다.
근데 무작정 W=Fs 이렇게 외우면 응용문제가 나왔을 때 풀 수 없습니다.

일은, 힘이 물체에게 하는 것인데, 어떤 힘이 일을 했느냐가 중요합니다.
보통 문제에서 '알짜 힘이 한 일', '철수가 한 일', '힘 F가 한 일', '마찰력이 한 일' 이런 식으로 '어떤 힘이 한 일' 이냐고를 묻습니다.

매우 중요합니다.

[문제 1]
바닥에 있는 상자를 철수가 10N의 힘으로 민다. 10m 이동했다. 이때 철수가 상자에 한 일의 양은?
(정답) W=Fs=10*10=100J




[문제 2]
바닥에 있는 상자를 철수가 10N의 힘으로 민다. 이때 상자의 속도는 일정했다. 10m 이동했을 때 마찰력이 상자에 한 일의 양은? (단, 상자에 작용하는 힘은 철수의 힘과 마찰력 뿐이다.)
(정답) W=Fs=10*10=100J (또는 -100J)
이 문제에서, 상자가 등속운동을 하였으므로 마찰력의 크기가 10N이라는 사실을 알 수 있고, 문제에서 '마찰력이 한 일을 구하라'고 했으므로, 마찰력의 힘의 크기와 물체의 이동 거리를 구하면 됩니다.

일-운동에너지 정리라는 게 있습니다.
물체에 해 준 일은 물체의 운동에너지 변화량과 같다는 것입니다.

어떤 2kg짜리 물체가 정지해있는데, 철수가 물체에게 100J의 일을 해주었습니다. 이때 물체가 받는 힘은 철수의 힘밖에는 없다고 할 때, 물체의 운동에너지 변화량은 100J입니다.
0 -> 100 이 된 것입니다.
물체의 속력을 구할 수도 있습니다.
물체의 운동에너지는 0.5*m*v^2이므로, 100=0.5*2*v^2입니다.
따라서 v=10 m/s입니다.

문제 2에서 보면, 철수가 물체에게 한 일은 100J인데, 물체는 등속운동을 합니다. 즉 운동에너지 변화가 없습니다. 어떻게 된 일일까요?
철수는 분명히 물체에게 100J의 일을 했는데 물체의 운동에너지 변화가 없다뇨? 일-운동에너지 정리에 어긋나는 것 아닙니까?
-> 그렇지 않습니다. 명확히 말해서 일-운동에너지 정리는, [물체에 작용한 알짜 힘이 한 일은 물체의 운동에너지 변화량과 같다.]입니다.
따라서, 문제 2에서 물체에 작용한 알짜 힘이 0이므로, 물체의 운동에너지 변화량도 0인 것을 알 수 있습니다.

다르게 설명해보면, 철수는 물체에게 100J의 일을 했지만, 마찰력이 역시 100J의 일을 음의 방향으로 해주었기 때문에(마찰력이 물체의 에너지를 뺐었다고 해석할 수도 있겠습니다.) 물체의 운동에너지 변화가 없는 것입니다.

[문제 3]
어떤 물체를 그림과 같이 수평면과 45도의 각도를 이루며 100N으로 끈다. 물체가 10m 이동했을 때, 100N이 물체에게 해 준 일은 얼마인가?

이 경우, 일의 정의에 대하여 다시 생각해봐야 합니다.
W=Fs 즉, 일은 힘과 이동거리의 곱이므로, 100N이 물체에게 해 준 일의 양은 1000J 인가?
아닙니다.

사실, 일은 힘 벡터와 변위 벡터의 내적 값으로, 각도에 따라 값이 달라진다는 특이한 결과를 보여줍니다.
이 경우, W=Fscos45˚를 해주어야 합니다.

Fcos45˚는, F의 수평 방향 성분인데요
일은 F의 수평 방향 성분과 10m의 곱입니다.

더 어렵게 설명하자면, 물체가 이동한 방향의 힘의 성분과 이동 거리를 곱해주는 것입니다.
따라서 정답은 (정답) 500√2 J이 됩니다.







[문제 4]
어떤 2kg짜리 물체가, 동쪽으로 10m/s의 일정한 속도로 달리고 있었는데, 4N의 일정한 힘이 물체에게 서쪽으로 작용합니다. 이때의 가속도가 서쪽으로 2m/s^2인데, 10초 동안 이 상황이 이루어졌다면 물체는 50m 이동했습니다. 변위는 0이고요. 이때 4N의 힘이 물체에게 한 일은 얼마일까요?
(단, 물체에게 작용한 힘은 4N의 힘밖에 없다.)

속도-시간 그래프를 그리면 이와 같다.

(정답) 0 J
일은 변위 벡터와 힘 벡터의 내적입니다.
변위가 0이므로 값이 0이라는 것을 쉽게 구할 수 있다는 게 첫 번 째이고요.
일-운동에너지 정리를 이용해서도 구할 수 있습니다.
물체에게 해준 알짜 힘은 물체의 운동에너지의 변화량입니다.
그런데 물체의 운동에너지는, 0.5*m*v^2이지 않습니까?

0초일 때 물체의 운동에너지가 A였다면, 10초일 때에도 물체의 운동에너지가 A입니다. 속력이 전혀 변하지 않았으니까요.
일-운동에너지 정리에 의해서,
물체의 운동에너지값이 전혀 변하지 않았으므로 물체가 받은 일은 0이라는 사실을 알 수 있습니다.

일-운동에너지 정리는 [물체가 받은 알짜 힘이 해 준 일은, 물체의 운동에너지 변화량과 같다.]인데요.
위치에너지, 즉 '중력에 의한 퍼텐셜에너지' 와 물체에 해준 일은 어떤 관계가 있을까요?





[문제 5]
땅에 정지해있는 10kg짜리 물체를, 연직 방향으로 100N의 힘을 주며 10m 높이까지 올렸다.
물체의 운동에너지와 물체의 퍼텐셜에너지를 분석해보자.
(단, 물체가 받는 힘은 중력과 100N이며, 중력가속도는 10m/s^2이다.)

일단 물체의 중력에 의한 퍼텐셜에너지를 분석해봅시다.
mgh이니까, 물체가 10m 높이에 있을 때 물체의 퍼텐셜에너지는
10*10*10=1000J입니다. 크네요.

100N이 물체에게 해 준 일은 몇인지 봅시다.
W=Fs=100*10=1000J입니다.

10m 도달했을 때 물체의 운동에너지를, 속도를 직접 구해서 구해봅시다.
가속도를 구해볼까요? 물체에게 작용하는 힘이 100N이므로, 가속도가 10m/s^2이다?
아닙니다. 물체에게 작용하는 '알짜 힘' 은 0N이므로 물체의 가속도는 0m/s^2입니다.
따라서 10m 도달했을 때 물체의 운동에너지는 0입니다.

그럼 일-운동에너지 정리에 어긋나는 것 아닙니까?
100N으로 물체를 밀어줬는데, 어떻게 운동에너지 변화가 없습니까?

-> 말했듯이, 일 운동에너지 정리는 '알짜 힘이 한 일은 물체의 운동에너지의 변화량과 같다.'입니다. 이 문제에서 물체가 받는 알짜 힘이 0이므로, 물체의 운동에너지 변화량도 0입니다.
퍼텐셜에너지는 관련이 없나 봅니다.

그럼 이제 문제를 살짝 바꾸어봅시다.







[문제 6]
땅에 정지해있는 10kg짜리 물체를, 연직 방향으로 200N의 힘을 주며 10m 높이까지 올렸다.
물체의 운동에너지와 물체의 퍼텐셜에너지를 분석해보자.
(단, 물체가 받는 힘은 중력과 100N이며, 중력가속도는 10m/s^2이다.)

이번에는 문제에서, 물체에게 작용하는 힘을 200N으로 바꿨습니다.

먼저 퍼텐셜에너지를 분석해보면, 역시 mgh=10*10*10=1000J입니다.


10m 높이에 있을 때 물체의 운동에너지를 분석해봅시다. 속도를 직접 구해서요.
물체에게 작용하는 알짜 힘은 위 방향으로 100N이므로, 물체의 가속도는 10m/s^2입니다.
따라서 등가속도 운동 공식 세 번째 것을 사용하면,
v^2-v0^2=2as (이걸 사용하면)
v^2=2*10*10=200을 구할 수 있습니다.
물체의 운동에너지는 0.5*m*v^2=0.5*10*200=1000J입니다.

어잇???
일-운동에너지 정리가 통하는지(?) 확인해볼까요.
물체에 작용하는 알짜 힘은 100N이고, 이동거리는 10m입니다.
물체에 알짜 힘이 해준 일은 1000J이고
물체의 운동에너지 증가량 역시 1000J입니다.
잘 통하네요!!!!




... 여기까지 일에 관련된 이야기를 해보았습니다.
역학이 힘든 고등학생들이 제 글을 보고 조금이나마 도움이 되었으면 좋겠고,
저는 그런 고등학생들에게 오개념을 심어주고 있진 않은지 항상 스스로 의심하고 있습니다.



정리하자면,
* 일=힘 벡터와 변위 벡터의 내적 값이다. 단순히 힘과 이동거리를 곱한다고만 생각하면 어려운 문제를 풀 수 없다.
* 일은 '어떤 힘'이 했느냐가 중요하다. 물체에 작용하는 힘이 여러 개일 수도 있는데, 그 여러 힘마다 해준 일이 다르다는 것이다.
* 일-운동에너지 정리에서, 물체에 작용한 '알짜 힘' 이 물체에 한 일은 물체의 운동에너지 변화와 같다.