고정 도르래 하나에 매달린 물체의 운동 분석

안녕하세요, 설군입니다.

 

고정 도르래 문제에서는, 알짜힘, 가속도의 법칙, 장력, 작용 반작용, 중력, 등가속도 직선 운동, 등속 직선 운동, 역학적 에너지 보존 법칙 등 다양한 개념이 사용됩니다.

 

특히나 도르래 문제를 풀기 위해서는 운동 방정식을 적용하는 법을 알아야 하는데요, 운동 방정식은 다름이 아니라

$$ F=ma $$

라는 방정식을 말합니다. 이 방정식은 어떤 물체 하나에 대해서 세울수도 있고, 혹은 물체 두 개를 한 덩어리로 보고서 식 하나를 세울 수도 있습니다. 방정식을 푼다는 의미는, 내가 $F$ 와 $m$ 을 알고 있을 때 $a$ 를 구하거나, $m$ 과 $a$ 를 알고 있을 때 $F$ 를 구하거나. 이런 의미입니다.

 

이 식에서 $F$ 는 내가 지금 관심있어 하는 물체가 받는 알짜힘을 나타내고, $m$ 은 지금 내가 관심있어 하는 물체의 질량, 그리고 $a$ 는 지금 그 물체의 가속도를 의미합니다. 그냥 단순히 힘, 질량, 가속도를 의미한다고 이해하지 말고 꼭, 내가 관심있는 물체 에 대한 물리량이라는 걸 이해해야 합니다.

 

그리고 그 물체가 받는 알짜힘의 방향과 그 물체가 가속하는 가속도의 방향은 동일합니다.

(가속도의 방향이지, 물체가 운동하는 방향이 아닙니다. 가속도의 방향과 물체의 운동 방향은 같을 수도 있고 다를 수도 있어요.)

 

간단하게 도르래 문제를 풀면서 알아두어야 할 사항입니다.

* $F=ma$: 뉴턴 제2법칙(가속도의 법칙).
[ 어떤 물체가 받는 알짜 힘 = 그 물체의 질량 * 그 물체의 가속도 ]라는 뜻.
* 운동 방정식을 세운다: 어떤 물체에 대하여 $F=ma$를 이용하여 식을 세우는 것.
   알짜 힘, 질량, 가속도 등을 대입하여 식을 세우고 찾고자 하는 물리량을 찾는다.
* 장력: 고정 도르래 문제와 같은 간단한 문제에서는, 하나의 실에서의 장력은 같다. 하나의 실은 두 물체를 묶는 데에 사용되거나 한다.
* 등속운동: 알짜 힘이 0인 운동.
* 정지: 정지 또한 알짜 힘이 0이다.
* 등가속도 운동: 가속도가 일정한 운동.
* 물체가 받는 중력은 물체의 무게를 말한다. 질량 과중력가속도의 곱으로 계산된다.
* 당연한 이야기이지만, 무거운 물체와 가벼운 물체가 도르래에 걸려있는 상황에서, 자연스럽게 중력만으로 움직일 때, 무거운 물체 방향으로 가속 운동 하면서 두 물체는 함께 운동한다. 이 때 두 물체의 가속도의 크기는 동일하다.

 

* 간단한 고정 도르래 문제

먼저 물체 두 개가 매달려 있는 도르래를 볼까요?

물체가 어느 방향으로 움직일지 먼저 봅시다.
A가 무거운데, 무거운 쪽으로 물체가 운동하겠죠?
A의 가속도의 방향은 아래 방향, B의 가속도의 방향은 위 방향일 것입니다. 그리고 앞서 말했듯이 두 물체의 가속도의 크기는 동일합니다.

지구의 중력 가속도는 $g = 9.8 \ \mathrm{m/s^2}$ 으로 정했습니다.

운동 방정식을 적용할 때, 가장 쉬운 방법은 물체 하나에 대해서만 관심을 가지고 적용하는 것입니다.

 

i) 물체 A에 대해 운동 방정식 세우기

A는 중력과 장력을 받고 있습니다.
그런데, A가 아래로 가속 운동하는 것을 우리는 알고 있습니다.
따라서 아래로 가속운동하려면 알짜 힘의 방향도 아래 여야 합니다.

알짜 힘의 방향이 아래이기 위해서는, A에게 작용하는 힘을 모두 더했을 때 그것이 아래 방향이어야 하는데,
A에게 작용하는 힘은 중력과 장력이 있고, 중력은 아래 방향이고 장력은 위 방향인데, 중력의 크기가 장력의 크기보다 크다는 말이 됩니다.

큰 힘에서 작은 힘을 빼주면 쉽게 알짜 힘을 구할 수 있습니다. 따라서 물체 A에 대해서 운동 방정식을 세우면 다음과 같습니다.
$$ 10 \times 9.8 - T = 10 \times a $$

좌변의 식은 물체 A가 받는 알짜힘을 의미합니다. 즉, 중력 에서 장력을 뺀 걸 적어주면 됩니다. 여기서 장력의 힘의 크기는 $T$ 라고 표현했습니다.

그리고 우변의 식은 물체 A의 질량과, 물체 A의 가속도의 곱 입니다. 그래서 물체 A의 질량과, 가속도의 크기 $a$ 를 곱해주었습니다.

 

ii) 물체 B에 대해 운동 방정식 세우기

$$ T - 5 \times 9.8 = 5 \times a $$

똑같이 세워주면 됩니다. 이 경우에 물체 B는 위쪽으로 가속운동 하고 있으므로, 알짜힘의 방향이 위 방향이 되어야 합니다. 장력은 물체 B를 위로 당기는 힘을 가하고 있고, 지구는 물체 B를 아래로 당기는 힘을 가하고 있습니다. 알짜힘의 방향이 위 방향이 되려면, 장력 빼기 중력을 해주면 됩니다.

 

iii) 두 식을 연립하여 장력 $T$ 와 가속도 $a$ 구하기

연립 방정식을 풀어주면, 간단하게 구할 수 있습니다.

$$ T = 65.33 \ \mathrm{N} $$

$$ a = 3.267 \ \mathrm{m/s^2} $$

입니다.

 

* 두 물체를 한 덩어리로 보고 운동 방정식 세우기

도르래를 살짝 옆으로 벌렸다고 생각해보세요. 그럼 위와 같이 물체 한 덩어리가 각각 오른쪽으로는 물체 B의 중력을 받을거고, 왼쪽으로는 물체 A의 중력을 받을겁니다. 그러나 여기서 물체를 합쳐 $ 15 \ \mathrm{kg} $ 의 중력을 받는다고는 생각하면 안됩니다. 그리고 결론적으로는 두 물체를 하나로 본 덩어리 물체의 경우에는 왼쪽으로 가속운동을 하는 상황입니다.

 

따라서 이 물체에 대한 운동 방정식은

$$ 10 \times 9.8 - 5 \times 9.8 = 15 \times a $$

가 됩니다. 여기서 쉽게 가속도를 구할 수 있고, 그 값은 위에서 운동 방정식을 따로 따로 계산해서 얻은 결론과 동일합니다!

 

* 세 개의 물체가 연결된 도르래 문제

다음은 물체가 세 개가 묶인 도르래 문제입니다.
장력이 두 개라서 구하는 데에 시간이 조금 더 걸릴 뿐이지 푸는 방식은 똑같습니다.
물체가 세 개이므로 각 물체에 대해 운동방정식 세 개가 나오고,
그것을 연립하여 가속도, 장력 두 개를 구할 수 있습니다.

i) 물체 A에 대해 운동 방정식 세우기

실 하나당 장력을 표시할 때 문자를 다르게 표현해주어야 합니다. 실 하나에서만 장력이 동일하고, 다른 실에서는 다른 장력입니다. 이 경우에는 물체 A와 B를 연결하는 실에서의 장력을 $T_1$ 이라고 표현하겠습니다.

물체 A는 지구가 아래로 당기는 힘을 받고 있고, 그리고 실이 위로 당기는 힘을 받고 있습니다. 그리고 물체는 아래 방향으로 가속 운동 할 테고, 그 가속도를 $a$ 라고 한다면, 운동 방정식은

$$ 15 \times 9.8 - T_1 = 15 \times a $$

가 됩니다.

 

ii) 물체 B에 대해 운동 방정식 세우기

물체 B의 경우에는 세 가지 힘을 받습니다. 지구가 물체 B를 아래로 잡아당기는 힘과, 장력이 물체를 아래로 끌어내리려는 힘, 그리고 위에 매달린 실의 장력이 위로 끌어당기려는 힘 입니다. 그리고 물체는 아래 방향으로 가속 운동 할 테이고, 가속도의 크기는 물체 A, B, C 모두 같으므로 운동 방정식은

$$ T_1 + 10 \times 9.8 - T_2 = 10 \times a $$

가 됩니다.

 

iii) 물체 C에 대해 운동 방정식 세우기

역시나 동일한 방법으로 구해주면,

$$ T_2 - 5 \times 9.8 = 5 \times a $$

라는 식을 얻을 수 있습니다.

 

세 가지 식을 연립하여 값을 계산기로 구해보면,

$$ a = 6.534 \ \mathrm{m/s^2} $$

$$ T_1 = 81.65 \ \mathrm{N} $$

$$ T_2 = 48.99 \ \mathrm{N} $$

의 결과를 얻을 수 있습니다.