벡터의 연산 문제와 물리학 힘의 평형의 관계

반응형

안녕하세요, 설군입니다.

물리학에서 다루는 물리량 중에는 거리, 질량, 시간과 같이 수치만 있는 스칼라도 있지만 힘, 변위, 속도와 같이 크기와 방향이 함께 있는 벡터도 있습니다.
기하와 벡터의 경우 벡터의 연산과 응용을 다루는 고등학교 수학인데요.
재미있는 문제가 있어서 가져와봤습니다.

수학의 정석 기하와 벡터 실력편 9-12 번 문제입니다.

물리학을 공부하다 보면 자주 접하는 힘의 평형 문제입니다.
물체가 어떤 힘을 받고 있으면서 정지해있는 상황인데요.
물리학 문제를 풀 때에는 '정지' 또는 '등속 직선 운동' 일 경우 '알짜힘이 0이다' 를 떠올리며 풀기 마련입니다.

벡터의 특수한 성질을 이용해서 구할 때에는 코사인 제 2법칙 등을 이용해 바로 구하는 특별한 방법도 있지만,
물리학에서는 힘의 평형을 이야기할 때 성분을 분해하여 분석하곤 합니다. (수학적으로는 이것을 벡터의 성분 분해라고 합니다)

이런 상황에서, 각각의 힘 $\vec{f}_1, \vec{f}_2$를 $x, y$방향으로 분해하면

그림과 같이 분해할 수 있습니다. 얇은 선으로 표시한 빨간색 힘 $\vec{f}_1$은 같은 색깔의 굵은 벡터 두 개로 분해할 수 있고, 파란색 힘 $\vec{f}_2$는 같은 색깔의 굵은 벡터 두 개로 분해할 수 있습니다.

이를 각각 아래첨자로 나타내면 다음과 같습니다.
$$ \begin{split} f_{1x} =& f_1 \sin(30) , \ f_{1y} = f_1 \cos(30) \\ f_{2x} =& f_2 \sin(45), \ f_{2y} = f_2 \cos(45) \end{split}$$

그리고 나서는 물체가 받는 알짜힘이 0이라는 성질을 생각하여, 물체가 받는 $x$방향 힘은 상쇄되어야 하고, 물체가 받는 $y$방향 힘은 상쇄되어야 하므로 식을 적어보면

$x$방향에 대해서는 중력이 작용하지 않으므로 힘의 평형 식은

$$ f_{1x} = f_{2x} $$

로 적힙니다. 각 힘의 $x$성분이 서로 크기가 같고 방향이 반대여야 정확하게 상쇄되니까 크기가 같다는 식이 쓰여집니다. 따라서

$$ f_1 \sin(30) = f_2 \sin(45) $$

의 식이 성립합니다.

$y$방향에 대해서는 중력이 작용하고, 중력의 방향은 아래 방향입니다. 그리고 두 힘의 $y$성분의 합은 윗방향이므로 다음과 같이 힘의 평형 식이 쓰입니다.

$$ f_{1y} + f_{2y} = 20 \times 9.8 $$

따라서,

$$ f_1 \cos(30) + f_2 \sin(45) = 20 \times 9.8 $$

로 정리가 됩니다. 

각각의 성분을 통해 얻은 두 식

$$ f_1 \sin(30) = f_2 \sin(45) $$

$$ f_1 \cos(30) + f_2 \sin(45) = 20 \times 9.8 $$

을 이용해 힘 $\vec{f}_1, \vec{f}_2$의 크기를 계산해주면

$$ \begin{split} f_1 =& 20(\sqrt{3} - 1 ) \times 9.8 \\ f_2 =& 10(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \times 9.8 \end{split} $$

임을 알 수 있습니다!