등가속도 운동하는 두 물체 사이의 거리, 추월하는 시간

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안녕하세요, 설군입니다.

위의 그림과 같이 두 물체 A, B가 있습니다. 두 물체는 처음 속도가 $+x$ 방향으로 각각 $8 \ \mathrm{m/s}$ , $2 \ \mathrm{m/s}$ 이고, 각각 가속도가 $+x$ 방향으로 $1 \ \mathrm{m/s^2}$, $2 \ \mathrm{m/s^2} $ 입니다. 둘이 처음에 떨어져 있는 거리는 $12 \ \mathrm{m}$ 입니다.

 

두 물체의 속도-시간 그래프를 한 그래프에 같이 그려봅시다.

이렇게 그릴 수 있습니다. 물체 A, B 의 초기 속도가 주어져 있으므로, 속도 축의 절편에 직선 그래프를 맞추어주면 되고, 가속도가 일정한 등가속도 운동이므로 그래프의 모양은 기울기가 있는 직선 모양이어야 합니다. 그리고 그 그래프의 기울기들은 각각 가속도를 의미하는데,

가속도가 A가 더 작으므로 더 완만하게 그려주면 됩니다. (간단하게 그릴때에는 비율을 정확하게 맞출 필요까지 없어요)

 

그렇다면, 물체의 위치가 시간에 따라 어떻게 바뀌는지 표현해봅시다. 물체 A가 있는 지점을 원점이라고 한다면

물체 A의 위치는

$$ x_{\mathrm{A}} (t) = 0 + (*) $$

이런 식으로 표현될 것입니다. $(*)$ 는 임의의 시간에 대한 함수가 될 거예요. 곧 구할 예정입니다.

 

물체 B의 위치는, 물체 A를 기준으로 처음에 12 만큼 떨어져 있었으므로, 시간에 대해 위치를 표현하면

$$ x_{\mathrm{B}} (t) = 12 + (**) $$

로 표현될 것입니다.

 

먼저 물체 A에 대해서 위치를 정확하게 표현해봅시다. 위에서 그린 그래프에서, 임의의 시간 $t$ 초 일때까지의 물체 A에 대한 속도-시간 그래프의 넓이를 구한다면, 그건 0 초부터 $t$ 초 까지 물체 A가 이동한 이동거리가 됩니다. (앞으로만 이동하는 중이니까요) 그 넓이를 구해보면?

이렇게 구할 수 있습니다. 여기서, 시간이 $t$ 초일 때, 물체 A의 속도를 적어야 하기 때문에, 등가속도 공식인

$$ v = v_0 + at $$

라는 공식을 썼습니다. 이 공식은, 시간이 $t$ 초 흘렀을 때의 물체의 속도 $v$ 를 구하는 식입니다. 이 때, 시간이 $t=0$ 초 일때의 초기속력을 $v_0$ 라고 표현하고, 물체의 가속도를 $a$ (가속도가 음수이면 음수를 붙여주어야 합니다) 로 표현합니다.

 

따라서 물체 A의 위치를 시간에 따라 나타낸 함수는

$$ x_{\mathrm{A}} (t) = 0 + 8t + \frac{1}{2} t^2 $$

입니다.

 

물체 B에 대해서도 똑같이 구해보면, 

따라서 물체 B의 위치를 시간에 대해 나타낸 함수는

$$ x_{\mathrm{B}} (t) = 12 + 2t + t^2 $$

이 됩니다.

 

A의 가속도가 비록 작지만, 처음 속도가 빨랐기 때문에 혹시 어느 시간이 되면 둘이 만나나...? 를 생각해봅시다.

둘이 만난다는 건 둘의 위치가 동일해진다는 뜻입니다. 따라서 앞서 구한 시간에 대한 함수를 이용해서 둘의 위치가 같아지는 순간을 찾아봅시다. (그 때의 시간이 몇인지)

간단하게,

$$ x_{\mathrm{A}} (t) = x_{\mathrm{B}} (t) $$

를 만족하는 시간 $t$ 를 찾으면 됩니다. 따라서 식을 써서 풀어보면,

이렇게 식을 정리할 수 있습니다. 이를 계산기에 넣고 돌려 시간 $t$ 를 구해보면,

이차 방정식이니까 두 개의 해가 나옵니다. 이 중에서

$$ t = 6 - 2 \sqrt {3} \approx 2.54 \ \mathrm{sec} $$

이고,

$$ t = 2(3+\sqrt(3)) \approx 9.46 \ \mathrm{sec} $$

입니다.

 

0 초에서 시작해서 약 2.54 초에 물체 A가 B를 지나가고 (즉 처음 만났고)

그때에는 A가 B를 지나갔지만, B의 가속도가 더 크니까 점점 추월해서

9.46 초에는 다시 B가 A를 추월한다는 의미입니다.