직선상에서 임의의 운동을 하는 경우 속도-시간 그래프 분석

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안녕하세요, 설군입니다.

그림과 같이 P 지점에서 출발한 물체가 R 에 도착하였습니다. 총 걸린 시간은 10 초이며, 물체의 속도-시간 그래프가 주어졌습니다. 임의의 지점 P, Q, R 이 표시되어 있는데 각각 사이 간격은 25 m 입니다.

 

* 이동한 거리

물체가 P 지점부터 R 지점까지 이동한 거리는 얼마나 될까요? 25 + 25 = 50 m 일까요?

운동이 어떻게 이루어 졌는지에 따라서 이동한 거리는 50 m 가 아닐 수도 있습니다. 앞으로 갔다 뒤로 갔다 하는 운동을 했을수도 있으니까요.

그러나 이 문제의 경우에는, 물체가 앞으로만 운동했다는 사실을 속도-시간 그래프를 통해 알 수 있습니다. 속도-시간 그래프에서 그래프가 항상 $t$ 축 위에만 있으므로, (속도가 음수가 된 적이 없으므로) 물체는 항상 앞으로만 움직였습니다. 단지 속력이 시간에 따라 변했을 뿐입니다.

 

속도-시간 그래프에서 0-10 초까지의 넓이를 구해봅시다.

이렇게 그래프의 넓이가 $5v$ 라는 것 까지는 구할 수 있는데,

그래프의 넓이라는 게 곧 총 이동거리를 의미하므로, $5v = 50 $ 이 되어, 속력 $v=10 \ \mathrm{m/s}$ 임을 구할 수 있습니다.

 

* 가속도의 크기와 방향

속도-시간 그래프에서 그래프의 기울기가 의미하는 것은 가속도 입니다. 그래프의 기울기의 크기가 가속도의 크기를 의미하며, 그래프의 기울기의 부호가 가속도의 방향을 말해줍니다.

 

0-4 초 동안 그래프의 기울기는 양수이며, 기울기의 크기는

$$ \frac{v-4}{4} = \frac{3}{2] $$

입니다. 즉 가속도가 $ 3/2 \ \mathrm{m/s}$ 입니다.

물체가 앞으로 속력이 점점 증가하면서 이동하는데, 그 가속도의 크기가 $ 3/2 \ \mathrm{m/s^2}$ 이라는 뜻입니다.

 

4-10 초 동안 그래프의 기울기는 음수이며, 기울기의 크기는

$$ \frac{v}{6} = \frac{5}{3} $$

입니다. 즉 가속도가 $ -5/3 \ \mathrm{m/s}$ 입니다.

물체가 앞으로 속력이 점점 감소하면서 이동하는데, 그 가속도의 크기가 $ 5/3 \ \mathrm{m/s^2}$ 이라는 뜻입니다.

물체가 앞으로 이동한다는 건 여전합니다! 그런데 점점 느려질 뿐입니다. 느려져서 시간이 10 초가 되었을 때에는 정지해요.

 

* 특정 위치까지 도달하는 데 걸린 시간

Q 지점까지 이동하는 데 걸린 시간이 몇인지 구해봅시다. 즉 그래프의 넓이가 25 m가 되는 지점의 시간 값이 얼마인지를 구하면 됩니다.

일단 먼저 간단하게 0-4 초 동안의 넓이만 구해 보면, 20 m 가 나옵니다. 그럼 여기서부터 5 m를 더 가야되니까,

그래프 상에서 일단 이런 식으로 표현하여 문자로 넓이를 적을 수 있을 것 같습니다. 우리가 구하고자 하는건 $x$ 입니다. 그러기에 앞서 $u$ 라는 값을 구해야 하는데, 그래프를 잘 보면 그래프의 가장 뾰족한 부분 즉 시간이 4 초인 지점에서의 속력 10 에서부터, $x$ 초 지났을 때의 속력이 $u$ 라는 뜻입니다. 그동안의 가속도는 우리가 $-5/3$ 인 것을 알고 있으므로, 등가속도 공식에 의해서, 

$$ v=v_0 + at $$

$$ u = 10 - \frac{5}{3} x $$

가 됩니다. 그렇다면 앞서 0-4 초 동안은 물체가 20 m 이동했고, 원하는 지점까지는 5 m 를 더 가야되므로, 저 넓이가 5 가 되어야 합니다. 즉

$$ 10x + \frac{1}{2} x (10-u) = 50 $$

여기에 앞서 $u$ 와 $x$ 의 관계식을 찾았으므로 이걸 이용해서 구해주면,

대충 0.5 초 정도 되는군요. 따라서 0 초부터, 대략 4+0.5 초 정도까지 지났을 때 Q 지점을 통과한다는 의미입니다.