굽은 도선이 만드는 자기장
안녕하세요, 설군입니다.
다음 그림과 같은 상황을 생각해봅시다. 굵게 표시한 선이 전류가 흐르는 도선입니다.
AA' 부분은 직선 방향으로 전류가 흐르고 있고, AC 부분은 원의 일부인 호 방향으로 굽은 도선입니다. 그리고 다시 CC' 부분은 직선 방향으로 전류가 흘러 나갑니다.
이때 가상의 원의 중심점을 O라고 하고, O지점에서 전체 도선이 만드는 자기장을 구하려 합니다.
AA', CC' 부분은 도선의 직선 부분인데, 직선 부분을 쭉 연장하면 결국 O 지점까지 가게 됩니다. 직선 도선을 연장했을 때 O 지점까지 가기때문에 직선 도선 부분들은 O 지점에 아무런 자기장을 만들지 않습니다.
따라서 전체 도선이 O 지점에 만드는 자기장을 구하려면, AC 호 부분이 만드는 자기장만 구하면 됩니다. 그래서 위의 그림과 같이 호의 일부분의 작은 조각 도선 $d \vec{s}$ 를 잡고, 그 조각 도선의 중심으로부터 O 지점으로 향하는 방향 벡터 $ \hat{r}$ 을 정의합니다.
비오-사바르 법칙을 적용하기 위해서는 $d \vec{s} \times \hat{r}$ 의 외적을 계산해야 하는데,
AC 호 모양의 도선은, 원의 일부이기 때문에 호의 어느 지점의 작은 조각 도선을 잡더라도, 항상 $d \vec{s}$ 와 $\hat{r}$ 은 수직하게 됩니다. 따라서 외적을 계산할 때의 $\sin (\theta) = 1$ 이 되므로, 크기는 쉽게 구할 수 있기에, 방향만 계산해주면 됩니다. 방향도 단순하게 화면을 뚫고 들어가는 방향이 외적의 결과 방향이라는 것을 알 수 있어요.
따라서, 조각 도선이 만드는 작은 조각 자기장 $d \vec{B}$ 는
이렇게 정의가 됩니다. $\hat{(\times)}$ 로 표현한 건, 화면을 뚫고 들어가는 방향 벡터라는 표시입니다.
이를 적분해주게 되면 전체 도선이 만드는 자기장을 구할 수 있습니다.
$\int ds$ 라는 건, 결국 호의 길이를 말하게 되므로, 호의 길이는 $\text{(호의 길이)} = \text{(반지름)} \times \text{(각도)}$ 로 구할 수 있습니다.
이 결과는 굉장히 유용한데, 만약 도선이원의 일부분인 호가 아니라, 원이였다면 단순히 $\theta = 2\pi$가 되므로, 이를 대입해주기만 하면 전류가 흐르는 원형 도선이 자신의 중심에 만드는 자기장을 구한 셈이 됩니다.
